22 Вопрос

Линейные преобразования пространства:

Пусть каждому вектору -мерного пространства поставлен в соответствие вектор этого же пространства. Функцию мы назовем преобразованием пространства .

Преобразование называется линейным, если выполнены следующие условия:

1 ,

2 .

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Определение линейного оператора

     Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись ) называется линейным, если:

     

     Условия 1 и 2 равносильны соотношению

 Матрица линейного оператора

     Матрица линейного оператора в базисе ( ) - матрица

столбцами которой являются столбцы образов базисных векторов оператора f, т. е.

     Линейный оператор называется невырожденным, если

Связь между координатами вектора и его образа

     Если в базисе ( ) имеет координатный столбец - линейный оператор с матрицей A в данном базисе, - координатный столбец вектора , то Y = AX (употребляется также запись ). Более подробно:

Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах

     Если в базисе линейный оператор имеет матрицу A, в базисе - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то

23 Вопрос

Пусть А  и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В  для любого  из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А  для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением  линейного  оператора  на  скаляр  α  назовем оператор αА, определяемый равенством А) А . Ясно, что αА – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2. βА) А.

3. А = А + βА.

4. (А + В) = А + В.

Обозначим через  множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из  называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В  для любого  из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = ( А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Матричная запись:

Выберем в пространстве V базис . Пусть  – произвольный элемент из V и  – разложение  по данному базису. Пусть А – линейный оператор из . Тогда А А . Полагая,             А                                   (7.1)

получим

А

Таким образом, если А  и элемент  имеет  координаты   , то

                                                                       (7.2)

Рассмотрим квадратную  матрицу А  с элементами :    Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе .

Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора А  используется, при заданном базисе , следующая матричная форма:  ,   причем,   если   ,   то   , где , , определяется с помощью соотношения (7.2), а элементы  матрицы А определяются по формулам (7.1).

(на фотографии ниже записи « c - линейный оператор » также идёт иная запись матричной формы ; по крайней мере очень на это похоже)