- •1.Графики и свойства основных элементарных функций.
- •2.Предел функции
- •3.Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции
- •4.Непрерывность функции в точке и на интервале.
- •6.Производная и дифференциал.
- •7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •8. Функция нескольких переменных и их непрерывность.
- •9 Производные функций нескольких переменных.
- •10. Дифференциалы функции нескольких переменных.
- •11. Поиск экстремума функции одной переменной.
- •12. Поиск экстремума функции нескольких переменных.
- •13 Неопределенный интеграл, основные теоремы.
- •14. Определенный интеграл, основные теоремы.
- •15.Методы интегрирования: Интегрирование методом замены переменных, Интегрирование по частям, Интегрирование рациональных функций.
- •16.Прямая линия на плоскости.
- •17.Эллипс.
- •18.Гипербола.
- •19.Парабола.
- •20.Прямая и плоскость в пространстве
- •21. Системы линейных уравнений.
- •22.Матрицы, классификация.
- •23.Операции над матрицами
- •24.Определители, свойства. Теорема Лапласа.
- •25.Обратная матрица
- •27. Системы векторов, операции над ними.
- •28. Ранг матрицы
- •29. Линейные операторы и матрицы
- •30. Собственные векторы линейных операторов
- •31.Решение системы линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.
- •32. Решиение системы матричной формы
- •33. Метод Гаусса.
- •34.Сущность и условия применения теории вероятностей.
- •35. Основные понятия тв.
- •36. Вероятностное пространство
- •37. Элементы комбинаторного анализа
- •38. Непосредственный подсчет вероятностей.
- •39. Теоремы сложения вероятностей.
- •40.Теоремы умножения вероятностей.
- •41.Формула полной вероятности.
- •42. Теорема Байеса
- •43. Формула Бернулли
- •44.Случайные величины. Способы их описания.
- •45.Основные числовые характеристики дискрет. Случ. Величин.
- •46. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •47.Осн. Законы распределения вероятностей случ. Величин.
- •48. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины
3.Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции
Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.
Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.
Замечательные пределы
Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции у =( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.
Теорема 1. Пусть функция у = ( х) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х х0 – 0 (слева) или при х х0 + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = ( х).
Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.
Теорема 2. Пусть функция у = (х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ( х).
Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.
Теорема 3. Пусть функция у = ( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы
Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой.
4.Непрерывность функции в точке и на интервале.
Определение 1. Функция (х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) определена в точке х0 (т.е. существует (х0));
2) имеет конечный предел функции при х х0;
3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.
Определение 2. Функция у =(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Функция у = (х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. 5.Точки разрыва первого и второго рода.
Точка х0, в которой функция (х) не является непрерывной называется точкой разрыва.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х х0, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х0.
Обозначим
а) , в этом случае функция имеет скачок
б) ,но не равно значению функции в точке х0 , имеем устранимый разрыв.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.