25.Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы.

2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А^-1 не существует.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

3 . Находим А^T, транспонированную к А.

4 . Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

5. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

26.N- мерный вектор и векторное пространство

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁,х₂,…х_n) , где х_i – i-я компонента вектора Х.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x_i=y_i, i=1…n.

Определение Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.

Определение Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам (1-5) называется Евклидовым пространством.

• Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми.

• Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R).

27. Системы векторов, операции над ними.

• Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z=X+Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z_i=x_i+y_i , i=1…n.

• Произведением вектора Х на действительное число λ называется вектор V=λX, компоненты которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора Х, т.е. v_i=λx_i , i=1…n.

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. Х + У = У + Х; (коммутативное свойство суммы)

2. (Х + У) + Z = X + (Y + Z); (ассоциативное свойство суммы)

3. a(bX) = (ab)X;

4. a(X + Y) = aX + aY; (дистрибутивное свойство)

5. (a + b)X = aX + bX;

6. Существует нулевой вектор О=(0,0,…0) такой, что Х + О = Х, для любого Х;

7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = О;

8 . 1∙Х = Х для любого Х.

С калярным произведением двух векторов и называется число

С войства скалярного произведения

Угол φ между двумя векторами определяется по формуле:

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Вектор A_m называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,..,A_m-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

A_m = λ₁A₁ + λ₂A₂ + …+ λ_m-1 A_m-1 (1)

Векторы A₁,A₂,..A_m векторного пространства R, называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁ + λ₂A₂ + … + λ_m A_m =0. (2)

В противном случае векторы A₁,A₂,..A_m называются линейно независимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.