Глава 4. Аналитическая геометрия
4.1. Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени.
Пусть точка
принадлежит прямой l,
вектор
.
Выберем на прямой произвольную точку
.
Тогда вектор
,
и общее уравнение прямой на плоскости
в декартовых координатах
,
где
.
Если В ≠ 0, то
,
обозначив
и
,
получим уравнение прямой
с угловым коэффициентом
,
где
–
угол прямой с осью Оx; b
– величина отрезка, отсеченного на оси
Oy. Если
=0,
то прямая параллельна оси Ox
и y = b.
Если
,
то прямая перпендикулярна Ox
и x = b.
Если B = 0, то А ≠
0 и
(прямая перпендикулярна оси Ox).
x = 0—ось Oy, y = 0—ось Ox—уравнения осей координат.
Пусть
;
;
.
Обозначим
,
тогда
– уравнение прямой в отрезках, где a
и b – отрезки,
которые прямая отсекает на координатных
осях.
Пример. 3х – 5у + 15 = 0; 3х – 5у
= –15;
.
Преобразуем:
– угловой коэффициент.
4.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
Получим уравнение прямой, проходящей
через (·) М1(х1;у1)
с угловым коэффициентом k.
.
(1)
Получим уравнение прямой, проходящей
через две точки
.
Из предыдущего уравнения:
.
Подставим в (1):
.
Если
(прямая параллельна оси ОХ), если
(параллельна оси ОY).
Угол между прямыми с угловыми
коэффициентами
.
Угол между прямыми:
.
Условие параллельности прямых:
;
перпендикулярность:
.
4.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
П
усть
дана прямая L. Проведем
через начало координат прямую,
перпендикулярную L:
n – нормаль. На нормали введем
положительное направление- от (·) 0 к (·)
Р.
–
угол от оси ОХ до направления нормали,
p – длина ОР.
Считая
и p известными, выведем
уравнение прямой. Возьмем на прямой
(·)М (х;у). Очевидно, что
.
Пусть полярные координаты
=
или
– нормальное уравнение прямой (
Расстояние от (·) до прямой. Пусть L
– прямая в нормальном виде
.
(·) Мо (xo,
yo) –
лежит вне прямой. Определим d –
расстояние от (·) Мо до прямой L.
Через Мо проведем прямую Lо
,параллельную L. Nо
– (·) пересечения Lо с нормалью.
а) если Nо лежит по ту
же сторону от 0 , что и N, то нормальное
уравнение прямой Lо:
т.к.
то
расстояние.
б) если Nо лежит по другую сторону от О, то уравнение прямой Lо:
.
Приведение общего уровня к нормальному.
Пусть
– общее уравнение, а
– ее нормальное уравнение, т.к. эти
уравнения определяют одну прямую, то
их коэффициенты пропорциональны. Умножим
все члены общего уровня на
первые
два возведем в квадрат и сложим:
<0,
поэтому знак
берется противоположным знаку С.
–
нормирующий множитель.
Пример. Дана прямая
и (·) М (4;3). Найти расстояние d
от М до прямой.
Приведем уравнение к нормальному виду:
.
4.4. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.
Возьмем на плоскости
,
выберем нормальный вектор
,
.
Пусть
– произвольная точка на плоскости.
Тогда
,
.
Тогда
,
–
уравнение плоскости, проходящей через
.
Раскроем скобки:
,
– общее уравнение плоскости, где
.
Справедливо и обратное: каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Рассмотрим некоторые частные случаи полученного уравнения.
– параллельна оси ОХ.
– параллельна оси ОY.
– параллельна оси ОZ.
– плоскость параллельна плоскости XOY
– плоскость параллельна плоскости XOY
– плоскость параллельно плоскости YOZ
D = 0 => плоскость проходит через начало координат.
Уравнение плоскости в отрезках.
.
Обозначим
– уравнение плоскости в отрезках. Смысл
величин а, b, c
– это отрезки, которые плоскость отсекает
от осей координат.