6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке
Функция называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим условиям:
1. Функция определена в точке x0.
2. Функция имеет конечный предел при
x→x0
и этот предел равен значению функции
в точке x0,
т.е.
.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке x0,
если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции:
.
В противном случае х0 – точка разрыва.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.
Свойства непрерывной функции
1. Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она ограничена на этом отрезке и
достигает на этом отрезке наибольшего
значения М и наименьшего значения
m.
2. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимают значение разных знаков, то имеется a<c<b, для которой f(c)=0.
6.10.Классификация точек разрыва
Точка х называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Точки разрыва можно разделить на два типа:
1. Разрыв 1 рода. Если функция f(x)
имеет в точке х0 конечные
пределы слева и справа , не равные между
собой, то в точке
будет разрыв первого рода, т.е.
,
,
но
.
2. Разрыв 2 рода. В точке х0 нет одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
– точка разрыва 2 –го рода.
Раздел III. Дифференциальное исчисление
Глава 7. Производная и дифференциал
7.1. Физический и геометрический смысл производной
Геометрический смысл
– тангенс угла наклона секущей.
,
если
,
то секущая переходит в касательную:
.
Производная равна угловому коэффициенту
касательной.
Физический смысл
Пусть
-
закон движения математической точки,
т.е. зависимость пути y от
времени t. За время t
пройден путь
,
а за
.
Отношение
– средняя скорость движения; мгновенная
скорость
.
В общем, для любой функции
– средняя скорость изменения y
относительно изменения x,
– мгновенная скорость изменения y
при некотором x. С
помощью производной можно оценить
скорость изменения связанных величин.
7.2. Определение производной. Свойства
Пусть дана функция
,
возьмем значение аргумента x
и зададим ему приращение
,
это вызовет приращение функции
.
Производная:
,
т.к. при различных значениях x
производная различна,
– функция аргумента x,
т.е.
.
Пример. Вычислим производную
.
Пусть x получил приращение
,
тогда
;
;
;
т.е.
.
Свойства производной
Производная
,
,
,
.
Пусть
и
– две функции, имеющие производные.
;
=
=
.
=
=
=
,
т.е.
.
3.а.
.
.
7.3. Производная сложной и обратной функций
Сложная функция
Пусть задана функция
и функция
,
тогда
называется сложной функцией.
Пример.
;
;
;
;
;
и т.д.
Пусть эти функции – дифференцируемые.
Пусть x получил
приращение
,
тогда функции
и
получают приращение
и
.
Рассмотрим
.
Перейдем к пределу (если
,
то
):
.
Обратная функция
Пусть
,
будем считать y за
аргумент, а x – за
функцию. Тогда
– обратная функция, может быть
многозначной.
-обратная,
– двузначная функция и т.д.
Если
– монотонная функция, то существует
непрерывная обратная функция
.
.
Перейдя к пределу:
или
.
Геометрический смысл
(и оси OX)
(и оси OY)
,
