1.4. Определитель n-го порядка

Пусть имеется конечное множество А, состоящее из n элементов: . Упорядоченное расположение этих элементов называется перестановкой множества А. Будем называть главной перестановкой ту, в которой числа расположены в порядке их возрастания. Если в другой перестановке какие-нибудь два числа расположены не в том порядке, в каком они находились в главной, а в обратном, то говорят, что эти числа образуют инверсию. Иначе говоря, два числа образуют инверсию, если большее число стоит левее меньшего. Например, в перестановке 1, 3, 4, 2 две пары чисел (3,2) и (4,2) образуют инверсии, а четыре пары (1,3), (1,4), (1,2), (3,4) инверсий не образуют (образуют порядок).

По определению, определитель n-го порядка можно вычислить следующим образом: составим произведение n различных элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца: . Здесь – некоторая подстановка из чисел 1, 2, …, n. Пусть r и s – число инверсий в верхней и нижней строке этой подстановки. Определителем n-го порядка назовем число, полученное из элементов матрицы по формуле: , где сумма берется по различным между собой подстановкам . Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков – частные случаи общей формулы. Заметим, что таких произведений будет n!. Напомним, что – факториал числа n. Например, .

Горизонтальные ряды определителя называются строками, вертикальные – столбцами, числа a_ij –элементы определителя, i=1,2,…n – номер строки, j=1,2,…n – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Порядок определителя – это число строк или столбцов. Воображаемая прямая, соединяющая элементы с одинаковыми индексами (a₁₁, a₂₂,…, a_nn), называется главной диагональю, другая диагональ – побочная (как и для матриц). Общая формула является громоздкой, поэтому определители старших порядков вычисляют, используя свойства определителей.

1.5. Основные свойства определителей.

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей третьего порядка, хотя все эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

1. При транспонировании определителя величина определителя не меняется, т.е. . Напомним, что транспонирование – замена его строк столбцами. Для доказательства следует расписать определители в правой и левой частях равенства: . Значит, строки и столбцы в определителе равноправны и если выполняются некоторые свойства для столбцов, то такое же свойство существует и для строк.

2. Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строки, то определитель сохраняет свою абсолютную величину, но изменит знак на противоположный.

Например, . Это также доказывается проверкой.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен нулю.

Пусть |А|= . Если переставить 2 и 3 строчки, то по свойству «2» получим –|А|, то есть |А| = – |А|, отсюда |А| = 0.

4. Общий множитель, содержащийся во всех элементах строки, можно вынести за знак определителя.

Например, . Это также доказывается проверкой.

5. Определитель, имеющий нулевую строку (все элементы которой равны нулю), равен нулю.

Для доказательство: в п.4 положим =0.

6. Если все элементы какой-либо строки состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых элементами этой строки являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе:

.

Это также доказывается проверкой.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

, т.к. второй определитель равен нулю.

Следствие: определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух его строк пропорциональны.

Свойство 7 можно обобщить: если элементы какого-либо столбца определителя является линейной комбинацией других его столбцов, то определитель равен нулю. Если столбцы определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.