Ранг матрицы. Равносильность различных определений. Ранг расширенных матриц для решения совместных и неопределенных систем.
Определение.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называется строчным рангом матрицы А
Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А называется столбцовым рангом матрицы А
Максимальный порядок r(B) невырожденной подматрицы В матрицы А называется базисным рангом А, а сама невырожденная подматрица В называется базисной подматрицей.
Совместная система линейных алгебраических уравнений А(х)=b определена тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов А= числу переменных n
Неопределённых систем:
Когда ранг матрицы А меньше ранга (А|B)
Линейный оператор. Собственные значения и собственные вектора линейного оператора.
Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.
A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X
20.
21..Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)
Уравнение с угловым коэффициентом.
y=kx+b!
k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то
прямая проходит через начало координат.
Уравнение примет вид y=kx
Если
α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет
параллельно оси ох. y=b
Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В
этом случае уравнение примет вид
и пройдет параллельно оси оу.
Общее уравнение прямой. Ax+Dy+C=0
A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
Если
В=0, то уравнение имеет вид Ax+C=0
или
.
Это уравнение прямой, параллельной оси
оу. и проходящей через точку
Если
В≠0, то получаем уравнение с угловым
коэффициентом
.
·
Если А=0, то уравнение имеет вид
.
Это уравнение прямой, параллельной оси
ох.
· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).
Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.
т М (х0;у0).
Уравнение прямой записывается в виде y=kx+b.
Подставим
в это уравнение точку М
Решим систему:
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному
вектору.
Нормальное уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
Т.к.
;
,
то:
x=k1y+b1
x-x0/ax=y-y0/ay
Угол
между прямыми.Дано:
прямые L1
и L2
с угловыми коэффициентами
Требуется найти угол между прямыми:
