- •Векторное пространство. Пространства арифметических и алгебраических векторов.
- •Линейное (векторное) пространство
- •2.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами.
- •3. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •Скалярное произведение. Длина вектора. Геометрическая интерпретация в случае двух и трех измерений.
- •Длина вектора
- •Геометрическая интерпретация
- •5.Условие перпендикулярности и параллельности векторов. Условие компланарности векторов.
- •6.Проекция вектора на ось и её свойства.
- •Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
- •Матрицы. Свойство операций сложения и умножений матриц.
- •9. Определитель н-го порядка. Свойства определителей.
- •2 Вариант
- •10.Свойство определителей.
- •11. Обратная матрица.(Определение,условия существования)
- •13. Система линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •14. Система линейных уравнений. Решение слау методом Крамера.
- •Равносильность систем линейных уравнений. Расширенная матрица системы. Элементарные преобразования.
- •16. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем с единичной подматрицей у матрицы коэффициентов. Базисное решение.
- •17.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.
- •Ранг матрицы. Равносильность различных определений. Ранг расширенных матриц для решения совместных и неопределенных систем.
- •Линейный оператор. Собственные значения и собственные вектора линейного оператора.
- •21..Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)
- •23. Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными
- •24..Плоскость в пространстве(Различные виды уравнений плоскости,угол между плоскостями)
- •25. .Прямая в пространстве и ее различные уравнения.Угол между прямыми и между прямой и плоскостью.Точка пересечения прямой и плоскости
- •Скалярное произведение в н-мерном пространстве. Определение, свойства, угол между векторам
- •27.Скалярное произведение в n-мерном пространстве.Определение,свойства,угол между векторами
- •28.Кривые второго порядка. Анализ уравнения. Виды крывих
- •2 9. Окружность. Вывод канонического уравнения
- •31.Формула перехода к новому базису линейного пространства. Линейная функция и линейный оператор в различных базисах.
- •32. Квадратичная форма и её матрица.
- •22. Прямая на плоскости. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Параметрическое уравнение прямой.
13. Система линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Системы линейных уравнений
Общий вид системы
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;
Если все = 0, система называется однородной.
Матричная запись системы линейных уравнений
AX = B,
где
Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу
называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.
Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.
При решении систем уравнений методом обратной матрицы используются вычисления определителя матрицы (Для вычисления матрицы, обратной к основной матрице системы уравнений). Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, тоесть матрица должна быть невырожденной.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
14. Система линейных уравнений. Решение слау методом Крамера.
Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно).
Описание метода
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.
Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).