11.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц а все остальные элементы равны нулю.Такую матрицу называют канонической.Каноническая матрица-расширенная матрица,вид которой

Х(альфа)=(х_1,…,х_n)

X(бета)=(x_r+1,….,x_n)

Из следования системы *

1)b’’не=0 решения нет-система несовместна

2)b’’=0, r=n

X(альфа)=x =b’

3)b’’=0; n>r

X(альфа)=b’ – CX(бетта) -система неопределенна

X(бетта)-свободная

X(альфа)-базис

12.Ранг матрицы.Равносильность различных определений.Ранги расширенных матриц для совместных и неопределённых систем.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы обозначается r(A). Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы.Если число перм больше чем число ур-ий,то матр неопределенная. Максимальное число лин незав строк,назыв строчным рангом матр А. Макс число лин незав столбцов назыв столбцовым рангом матр А. Наиб порядок под матр,определ которой отличен от нуля назыв базисным рангом матрицы А. Строчный,столбцовый и базисный ранги матр равны между собой.Это общ число и назыв рангом матрицы

13.Линейный оператор.Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе (

) оператор имеет матрицу В

λ – произвольное число ≠0

Е – единичная матрица

Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же ,умноженный на некоторое к. к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

Для каждого собств значения ₀ соотв соств вект могут быть найдены из матричного уравнения(А-₀Е)х=0 или соотв ему сист лин ур-ий:

15.Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)

Уравнение с угловым коэффициентом.

y=kx+b! k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид y=kx Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. y=b Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой. Ax+Dy+C=0

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Если В=0, то уравнение имеет вид Ax+C=0 или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .

· Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х₀;у₀).

Уравнение прямой записывается в виде y=kx+b.

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному

вектору.

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то:

x=k₁y+b1

x-x0/ax=y-y0/ay

Угол между прямыми.Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми: