31Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e₁,  e₂, ..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁,  e₂, ..., e_n .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно   каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n}  к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_e  оператора A в базисе e  и матрицей A_e'  этого оператора в базисе e' задается формулой 

Здесь  

-  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.

32. 1. Определение квадратичной формы

Определение 6.1. Однородный многочлен второй степени от n переменных с действительными коэффициентами

n

∑ aiix²i+2∑ aijxixj aij принадлежит R

i=1 1≤i<j≤n

называют квадратичной формой

Если в этом

пространстве выбрать какой-либо базис, то квадратичную форму (6.1) можно трактовать как

функцию, значение которой определено через координаты x1, x2, . . . , xn вектора x. Эту функ-

цию часто отождествляют с квадратичной формой.

Квадратичную форму (6.1) можно записать в матричном виде:

(X в степени Т) Ax, (6.2)

где x = (x1 x2 . . . xn)в степени т

— столбец, составленный из переменных; A = (aij ) — симметрическая

матрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы (6.1)

Квадратичную форму

A1x1²+…+anxn² , αi ∈ R, i = 1, n, (6.5)

не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой кано-

нического вида. Переменные x1, . . . , xn, в которых квадратичная форма имеет канонический

вид, называют каноническими переменными.

Один из методов преобразования (или, как говорят, приведения) квадратичной формы к

каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных

квадратов. Такой метод называют методом Лагранжа.

Квадратичная форма называется положительно определённая, если А(хх)>0,х не равен 0

Билет 28

Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

(12.1)

где -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.