13. Метод ранговой корреляции по Спирмэну.

Для определения взаимозависимости между переменными, имеющими произвольное двумерное непрерывное распределение, можно пользоваться коэффициентов ранговой корреляции спирмена. Ряды измерений x_i и y_i I = 1,2,3…n , преобразуется с помощью рангов следующим образом. Каждому значению x₁ ставится в соответствии ранг R₁ , т.е. номер элемента x₁ в вариационном ряду; аналогичным образом определяется ранги остальных элементов.

12. Виды зависимостей. Корр анализ; коэффициенты частной и множественной корреляции.

Зависимость:1) Функциональная (функция, функционал, оператор)

2) Стохастическая (регрессия, корреляция)

Функционал совокупности функций ставит в соответствие совокупность чисел

Оператор Если заданы два произвольных множества Sx и Sy и дан закон, в соответствии с которым любому x будет соответствовать вполне определенный y , то говорят, что задан оператор. Функция, Функционал и Оператор – отражают действие причинно-следственной связи. Стохастическая связь - это такая зависимость, при которой определенному значению x будет соответствовать множество y. Корреляционный момент (ковариация) или момент связи К_ху называют второй смешанный центральный момент, т.е. матем. ожидание произведения центрированных в-н

х°=x-m_x и y°=y-m_y. K_xy=M[(x-m_x)(y-m_y)] Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется мат. ожидание произведения стандартных случайных величин r_xy=M[((x-m_x)/σ_x)((y-m_y)/σ_y)] r_xy=K_xy/(σ_xσ_y) коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной стохастической связи между случайными величинами

Корреляционный анализ изучает на основании выборки стохастическую зависимость между случайными переменными. Для коэффициента корреляции ρ двух случайных величин х и у справедливо: 1) -1≤ρ≤1 2) при ρ=±1 имеется функциональная связь, т.е. все точки лежат на прямой 3) если ρ=0, то х и у –некоррелированы (но это не говорит об отсутствии связи. Две независимые случайные переменные всегда некоррелированы, но некоррелированные переменные необязательно независимы) Параметр ρ оценивается с помощью: 1) выборочного коэффициента корреляции 2) частного коэффициента корреляции 3) множественного коэффициента корреляции 4) коэффициента корреляции по Спирмэну 5) квадратного коэффициента корреляции и углового критерия 6) коэффициента сопряженности 7) корреляционного отношения

Частные (парциальные) коэф. корреляции характеризуют тесноту связи между двумя случайными величинами системы при исключении влияния остальных случайных величин. Частный коэф. корреляции в-н Х₁ и Х₂, входящих в систему {Х₁,Х₂…Х_n} относительно в-н Х₃, Х₄, …Х_n обозначается через r_12,34…n

где Р₁₂- минор детерминанта квадратной матрицы (матрицы коэф. корреляции), получаемой путем вычеркивания 1^ой строки и 2^го столбца, умноженной на (-1)¹⁺²=-1

В отличие от коэф. множеств. корреляции коэф. частной корреляции как коэф. парной корреляции меняется в пределах от -1 до +1. Пи наличии корреляции частный коэф. корреляции r_12,34…n в общем случае не равен коэф. парной корреляции r₁₂.

Коэффициент множественной корреляции. (сводный коэф. корреляции) Используется для описания системы сл. в-н {Х₁,Х₂…Х_n}. Служит характеристикой корреляции между величиной Х₁ с одной стороны и всей совокупностью величин (Х₂,Х₃…Х_n) с другой. Р – детерминант квадратной матрицы коэф. коррел.

Р₁₁ – минор этого детерминанта

При n=3 Свойства 1. всегда является положительным числом 0≤r_1(23..n) ≤1 2. при r_1(23..n)=1 случайная величина Х₁ почти наверное равна линейной комбинации Х₂,Х₃…Х_n. 3. равенство r_1(23..n)=0 имеет место тогда, когда r₁₂,r₁₃,…r_1n=0, т.е. случайная величина Х₁ не коррелированна со всеми остальными случайными величинами системы.