43. Моделирование и подобие. Получение критериев подобия с помощью метода интегральных аналогов (пример с уравнением Навье-Стокса)
M = v/a- число Маха, отношение скорости объекта к скорости звука.
Если М<1, то работает докритическое течение.
При М>1 происходят скачки уплотнения.
М=1- граница между событиями, надкритическое течение.
Докритическое и надкритическое течения качественно отличаются.
Методы получения критериев подобия. Метод основан на использовании:
а). p - теоремы (теоремы Букингема)
б). Метода интегральных аналогов
В основе лежит теория размерности. A = {A}[A]
[A] - единицы размерности, т.е. A = {30}[км/час]
Есть единицы основные и произвольные.
Метод интегральных аналогов. Для получения критериев подобия по методу интегральных аналогов необходимо знать уравнения системы или процесса. Если все члены уравнения разделить на один из них, то получим уравнение в безразмерной форме (Фурье - все члены уравнения имеют одну и ту же размерность). Пример Уравнение Навье-Стокса. V- скорость потока в точке. F - объемная или массовая сила Р – давление r - плотность жидкости n - кинетическая вязкость Δ - лапласиан или дифференциальный оператор второго порядка Ñ - оператор набла Δ=Ñ´Ñ - скалярное произведение
(их
3 для х, у и z)
-старая
координата
а).
Пренебрегаем индексом 1
б). Разделим
члены уравнения на
-
число подобия Струхаля;
-
число подобия Фруда;
-
число подобия Эйлера;
-
число подобия Рейнольдса
42. Моделирование и подобие; динамические аналогии; критерии подобия. Пи-теорема.
p - критерий подобия; безразмерная величина, но является отношением размерных величин
M = v/a- число Маха, отношение скорости объекта к скорости звука.
Если М<1, то работает докритическое течение.
При М>1 происходят скачки уплотнения.
М=1- граница между событиями, надкритическое течение.
Докритическое и надкритическое течения качественно отличаются.
Методы получения критериев подобия. Метод основан на использовании:
а). p - теоремы (теоремы Букингема)
б). Метода интегральных аналогов
В основе лежит теория размерности. A = {A}[A]
[A] - единицы размерности, т.е. A = {30}[км/час]
Есть единицы основные и произвольные.
p - теорема Всякое полное уравнение физического процесса записанное в определенной системе единиц может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнение переменных и параметров. f(P1, P2,..., Pi,..., Pk,..., Ps,..., Pm) = 0 1 £ i £ k k+1 £ s £ m f(P1/P01;P2/P02,...;Pi/P0i,...;Pk/P0k,...;Ps/P0s,...;Pm/P0m)=0 Основные и производные единицы. Производные можно выразить через основные. Для этого надо: а) Выбрать те параметры, которые являются независимыми. б) Выразить зависимые через независимые. Имеем матрицу размерностью [m´n], в которой число строк больше числа столбцов (m > n). Ранг не больше n.
Пусть P1,..., Pk - независимые параметры; Pk+1,..., Pm - зависимые параметры. Pk+1,..., Pm. следует выразить через P1,..., Pk Тогда получим f(1,...,1, p 1,..., ps-k,..., pm-k) = 0 Каждый параметр P выражается в виде Р = {Р}[Р] где {Р}- число, [Р] - размерность. [P1] = [aa1, bb1,..., qx1] = [P01] [Pi] = [aai, bbi,..., qxi] = [P0i]
Di,k+1 - определитель, в котором i-ая строка заменена (k+1) строкой из формул размерности.
k [P0,s] = Õ[P0i]Di,s/D i=1 Di,k+1/D = xi Di,s/D = yi Di,m/D = zi k [P0,k+1] = Õ[P0i]xi = p 1 i=1