Показатели вариации признака.

Опр. Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности.

Понятие вариации рассматривается только для количественных признаков.

К показателям вариации относятся:

• Размах вариации (R)

• Дисперсия (S²)

• Среднеквадратическое отклонение (S)

• Коэффициент вариации (V)

Вариация тесным образом связана со средним арифметическим. Среднее арифметическое дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но среднее не раскрывает строения совокупности, которое очень существенно для ее анализа.

Среднее не показывает, как располагаются около него варианты значений признака, сосредоточены ли они вблизи среднего значения или значительно отклоняются от него. Среднее арифметическое для двух совокупностей может быть одинаковым, но в первом случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а во втором — эти отличия велики, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Поэтому и вводятся специальные показатели, которые характеризуют отклонение отдельных значений от общего среднего значения.

Пример. Предположим, что обследуются две группы семей по количеству детей. _

1 группа 1 5 3 1 5 Х=3

_

2 группа 4 2 3 3 3 Х=3

В среднем каждая группа характеризуется 3 детьми на одну семью, однако в первой группе колебания по каждой семье гораздо более существенны, чем во второй группе.

Поэтому, анализируя средние значения, необходимо обращать внимание и на отклонения значений вокруг среднего.

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значением признака.

Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений вариантов признака от их среднего арифметического.

Дисперсия вычисляется по формуле:

Для несгруппированных данных —

 (х_i – х_ср)²

S² = –––––––––––

n – 1

Для сгруппированных данных —

 f_i (х_i – х_ср)²

S² = –––––––––––

 f_i – 1

Среднеквадратическое отклонение — это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Среднеквадратическое отклонение S равно корню квадратному из дисперсии.

Для несгруппированных данных —

 (х_i – х_ср)²

S =  –––––––––––

n – 1

Для сгруппированных данных —

 f_i (х_i – х_ср)²

S = –––––––––––

 f_i – 1

Среднеквадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и значения признака, поэтому хорошо интерпретируется.

Пример. Для двух групп семей:

S1 = 2 S2 = 0,7

х_ср1 = 3 х_ср 2 = 3

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической. S

V = –––––– 100%

х_ср