Обыкновенные дифференциальные уравнения Контрольные вопросы

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные определения (дифференциальное уравнение, его порядок, решение и интеграл дифференциального уравнения).

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решение, задача Коши. Теорема о разрешимости задачи Коши. Особые решения. Интегральные кривые. Метод изоклин.

3. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Методы интегрирования этих уравнений.

4. Дифференциальные уравнения п – го порядка. Общее и частное решение, задача Коши. Теорема о разрешимости задачи Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений.

5. Интегрирование дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

6. Линейные дифференциальные уравнения п – го порядка. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского.

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения, фундаментальная система решений.

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения, метод вариации произвольных постоянных.

9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Структура общего решения.

10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов.

Варианты контрольной работы

Задание № 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

Задание № 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Ряды Контрольные вопросы

1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость ряда, сумма сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Приближенное вычисление суммы ряда.

6. Функциональные ряды. Область сходимости.

7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

8. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

9. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

10. Тригонометрические ряды. Сходимость тригонометрических рядов.

Варианты контрольной работы

Задание № 1. Исследовать сходимость числового ряда.

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

Задание № 2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, который затем почленно проинтегрировать.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .