Порядок выполнения лабораторной работы

1 Изучить теоретическую часть.

2 Составить программу решения дифференциального уравнения первого порядка по вычислительным схемам (1.2), (1.6) и (1.7). Отладить ее на модельной задаче.

3 Провести вычисления указанного варианта задачи.

4 Внести случайную погрешность в начальные данные и, проведя вычисления для измененных данных, сделать вывод об устойчивости.

5 Вывести результаты решения модельной задачи для различного числа узлов N в виде таблицы

где -значение приближенного решения в точке при шаге h, - точное значение решения в этой же точке.

6 Вывести результаты решения указанного варианта в виде

7 Провести анализ полученных результатов.

Типовое задание к лабораторной работе

Решить задачу Коши

, , .

Варианты заданий

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Лабораторная работа №2

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца

Цель работы: используя проекционный метод Ритца, решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Теоретическая часть

Пусть в гильбертовом пространстве H рассматривается уравнение Lu=Au+Bu=f, , .(2.1)

где А, В —линейные (т. е, аддитивные и однородные, но, может быть, неограниченные) операторы в H с областями определения D(A), D(В), соответственно. Предполагается, что D(A) D(B) и D(А) плотно в H Кроме того, введем в рассмотрение некоторый оператор К с областью определения D(K) D(A).

Зададим функции

каждая из которых принадлежит D(A), Обозначим через H_N линейную оболочку функций . Будем считать, что для этих функций выполнены условия:

1) при любом N функции линейно независимы;

2) последовательность подпространств {H_N} предельно плотна в H, т. е. для любой функции и Н существуют такие элементы , N=1, 2,..., что

,

где —оценки погрешности аппроксимации, →0 при N→∞.

Набор функций , удовлетворяющих отмеченным условиям, будем называть базисом в H_N и обозначать { }. Входящие в него функции назовем базисными.

Введем еще один набор базисных функций, который обозначим через { } и который не обязательно совпадает с { }. Предполагается, что все базисные функции , принадлежат множеству D(K).

Будем искать приближенные решения уравнения (2.1) в виде

, (2.2)

здесь , определим из системы уравнений

(2.3)

где (u, v) — скалярное произведение в пространстве H с нормой .

Пусть в задаче (2.1) и в алгоритме (2.3) В=0, К=I—тождественный оператор, , A — симметричный положительно определенный оператор, т. е. (Au,v)=(u, Av), (Аи,u)≥ где >0 - постоянная, . В этом случае мы приходим к задаче

Au=f, f H. (2.4)

Общий алгоритм (2.3) при сделанных предположениях будем называть классическим методом Ритца. Он состоит в следующем:

1. Выбирается базис { ,}, D(A), i=1,...,N, N=1,2,..

2. Приближенное решение ищется в виде

.

3) Коэффициенты находятся из системы уравнений

(2.5)

или, что то же самое, из системы

(2.6)

где —матрица с элементами , .

Теорема 2.1 Для. того чтобы некоторый элемент D(A) сообщал минимальное значение функционалу энергии

F(u)=(Au,u)-2(u,f), (2.7)

необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Аu₀=f. Такой элемент единственный.

Из этой теоремы следует, что задача (2.4) и задача минимизации (2.7) эквивалентны.

Если рассматривать классическую постановку задачи (2.4), когда решение уравнения Au=f есть функция, принадлежащая области определения D(A) оператора A и удовлетворяющая этому уравнению. Оказывается, что в такой постановке это решение может не существовать. Однако оно существует в несколько более широком (чем D(A)) пространстве. Поэтому необходимо изменить постановку задачи о минимизации F(u), чтобы можно было гарантировать существование ее решения.

Пусть при рассмотрении (2.4) А — симметричный положительно определенный оператор с областью определения D(A), плотной в H. Введем в D(A) скалярное произведение и норму:

. (2.8)

Пополняя D(A) по введенной норме, приходим к полному гильбертову пространству H_A, которое называется энергетическим пространством, порождаемым оператором А. Каждая функция из D(А) принадлежит пространству H_A, однако в результате пополнения в H_A могут появиться элементы, не входящие в D(А) (поэтому представление скалярного произведения при произвольных в виде уже не имеет места).

Пусть . Представим F(u) в виде

(2.9)

Такая форма записи позволяет рассматривать F(u) не только на области определения оператора A, но и на всех элементах энергетического пространства H_A. Поэтому расширим функционал (2.9) на все пространство H_A и будем искать его минимум на этом пространстве. Легко показать, что в такой постановке вариационная задача имеет всегда единственное решение.

В пространстве H_A функционал F(и) достигает минимума при и=и₀. u₀—единственный и принадлежит H_A. Может оказаться, что ; тогда u₀ будет также классическим решением, рассматриваемой задачи, т. е. будет удовлетворять (2.4). Если же , но , то назовем его обобщенным решением уравнения (2.4).

Рассмотрим один из вопросов, важных для практического использования метода Ритца, — проблему выделения главных и естественных краевых условий . Принадлежность элемента и к области определения D(А) оператора А часто подразумевает, что и удовлетворяет тем или иным краевым условиям: T_ku=0, k=1,...,К (здесь Т_k — оператор, определяющий k-е краевое условие). В результате пополнения D(A) по норме [•] в полученном энергетическом пространстве Н_N могут появиться элементы, которые будут удовлетворять не всем условиям T_ku=0. Если в Н_А окажутся элементы, не удовлетворяющие некоторому условию T_ku=0, то это краевое условие называется естественным для оператора А. Краевое условие, которому удовлетворяют как элементы из D(A), так и элементы из Н_А, называется главным.

Практическая важность умения отличать эти условия состоит в том, что базисные функции { } не обязательно подчинять естественным краевым условиям, так как их достаточно брать лишь из энергетического пространства (и не обязательно из D (А)). Это обстоятельство в значительной степени облегчает выбор при решении многих практически важных задач, особенно в случае многомерной области со сложной формой границы. Отметим, что в случае главных краевых условий проблема построения , удовлетворяющих этим условиям, остается.

Приведем простой признак, позволяющий отличать естественные краевые условия от главных и применимый для ряда краевых задач Пусть в (2.4) А — дифференциальный оператор порядка 2m, удовлетворяющий некоторому однородному краевому условию вида T_ku = 0. Тогда краевое условие будет естественным, если выражение содержит производные от и порядка т и выше (при этом в могут входить производные порядков, меньших чем m, а также сама функция и). Если Т_kи не содержит производных от и порядка m и выше, то условие является главным.

Рассмотрим уравнение

+q(x)u(x) = f(x) (2.10)

и(a) = и(b) = 0

f(x) L₂(a,b),p(x),q(x)- ограниченные функции. Обозначим через А оператор задачи (2.10), определим выражение

.

Тогда операторное уравнение будет

Аи= f. (2.11).

Применим для решения задачи (2.10) метод Ритца в энергетических пространствах

Введём скалярное произведение в L₂:

(u,v) = .

Пополним область определения оператора A и определим скалярное произведение в H_A

(2.12)

Согласно теории метода Ритца, задача (2.10) сводится к минимизации функционала

F(u) = [u,u]-2(u,f)

Введём сетку на (а,b)

а =x₀<x₁<...<x_N= b,

Поставим в соответствие каждому узлу кусочно-линейную функцию

Решение ищем в виде , т.к. , то . (2.13)

Согласно теории Ритца, за приближённое решение задачи u_N можно принять функцию вида (2.13). минимизирующую F(v). Коэффициенты , этой функции находятся из условий = 1... N -1, которые приводят к системе

где

элементы матрицы = {A_ij} и вектора f = { }^Т имеют вид

, (2.14)

. (2.15)