§ 12. Основной закон электромагнитной индукции

Индукционный ток как и всякий электрический ток может течь в цепи только при наличии электродвижущей силы. Рассмотрим плоский контур, участок которого может свободно перемещаться без нарушения контакта. Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура.

Под воздействием силы Ампера незакреплённый участок контура придет в движение и за время совершит работу

где – изменение магнитного потока через площадь контура за время .

Кроме механического перемещения участка контура, энергия батареи c ЭДС будет расходоваться на нагревание проводников контура и по закону Джоуля – Ленца работа силы тока равна

Полная работа, совершаемая батареей с ЭДС согласно определению ЭДС равна q. Так как заряд , то величина работы будет

Таким образом

или

Откуда

Сравнив полученные выражения с выражением законом Ома для замкнутой цепи мы констатируем наличие дополнительного члена , который и является ЭДС индукции

Электродвижущая сила электромагнитной индукции в замкнутом контуре числено равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, сквозь поверхность, ограниченную контуром.

Это и есть основной закон электромагнитной индукции.

Д ля выяснения природы ЭДС. индукции рассмотрим более детально явления, происходящие в подвижной стороне контура. Для простоты рассуждений примем, что в контуре гальванический элемент тока с ЭДС отсутствует, а ток в контуре будет обусловлен только ЭДС индукции. Приведем подвижную часть контура в движение со скоростью . При этом на электроны проводимости металла действует сила Лоренца , направленная параллельно проводнику и численно равная

где e – заряд электрона

Под действием этой силы электрон движется вдоль провода со скоростью , в результате чего возникает перпендикулярная проводу составляющая силы Лоренца .

Полная сила Лоренца, действующая на электрон равна

Под действием параллельной составляющей силы Лоренца электроны, перемещаясь вдоль проводника создают между его концами разность потенциалов , а внутри проводника электрическое поле с напряженностью . Величина этой напряженности равна

где l – длина проводника

Сила, действующая на электрон со стороны электрического поля равна еЕ и направлена противоположно силе Лоренца. При равенстве численных значений этих сил движение электронов по проводнику прекратится. Поэтому для равновесного состояния имеем

E=VB

Так как то

Согласно формуле закона Ома для неоднородного участка цепи

Так как в нашей цепи тока нет, то I=0 и значит

Тогда можно записать что

или

Так как в рассматриваемой цепи никаких гальванических источников тока нет, то естественно считать ЭДС равной ЭДС индукции.

Мы рассмотрели случай поступательного движения проводника длиной l в магнитном поле со скоростью . Угол между направлением скорости и вектором магнитной индукции был равен 90°.

Рассмотрим теперь случай когда угол между и не равен 90° и составляет некоторый угол . Магнитное поле по-прежнему будем считать однородным, то есть B=const во всех точках пространства. Ранее мы установили, что при движении проводника в постоянном магнитном поле разделение зарядов обусловлено действием силы Лоренца на свободные заряженные частицы.

Тогда сила, которая действует в магнитном поле на заряженную частицу равна

Обозначим перемещающийся участок проводника до его помещения в магнитное поле через MN и его положение после помещения в магнитное поле буквами

Направлена эта сила вдоль проводника и совершает работу

Т огда Э.Д.С. индукции

В других проводниках контура ЭДС равна нулю, так как проводники не подвижны. Следовательно, ЭДС во всем контуре остается постоянной, а электрический ток по мере перемещения проводника вправо будет увеличиваться, так как общее сопротивление контура уменьшается. Поскольку согласно правилу Ленца индукционный ток всегда направлен противоположно действию вызывающей его причине, то знаки V и должны быть противоположными, то есть

ЭДС индукции при поступательном движении проводника в однородном магнитном поле

Скорость движения проводника можно представить как . Тогда . Здесь равно расстоянию, на которое перемещается проводник, помещенный в магнитное поле, то есть . Произведение представляет собой площадь поверхности, описываемой проводником за время . Тогда

Произведение есть ничто иное как магнитный поток сквозь это поверхность, то есть . Тогда

Полученный результат по своей форме тождествен уравнению основного закона электромагнитной индукции. Однако смысл правой части в обоих уравнениях различен.

В первом случае это скорость изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром. Во втором – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, описываемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени к величине этого промежутка времени . Поэтому для того чтобы обобщить оба уравнения принято считать, что это скорость пересечения проводником линий магнитной индукции магнитного поля.

Если весь контур движется в однородном магнитном поле, сохраняя свою ориентацию по отношению к вектору , то ЭДС индукции в контуре будет равна нулю, так как поток через площадь ограниченную контуром не меняется. Объяснить это можно так: при движении проводника MN в нем и в остальных проводниках составляющих части контура возникают силы, действующие на электроны, таким образом, что суммарная работа этих сил при обходе контура по часовой стрелке или против нее равна нулю.

Рассматривая более детально явления, происходящие в подвижной стороне контура мы установили, что действие магнитного поля на проводник с током проявляется в виде параллельной составляющей силы Лоренца, которая в свою очередь создает электрическое поле с напряженностью . Это приводит нас к выводу о взаимосвязи электрического и магнитного полей или о существовании единого электромагнитного поля.

Электрическое поле индукции не отличается от электростатического поля по своему действию на заряд, но по своей структуре эти поля различны.

В электростатическом поле линии напряженности не замкнуты. Они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Работа по перемещению заряда между двумя фиксированными точками зависит то положения этих точек, но нет формы пути и в случае замкнутого контура она равна нулю.

В электрическом поле индукции линии напряженности не имеют источников и представляют собой замкнутые линии, расположенные внутри проводника. При перемещении заряда по контуру, совпадающему с линиями напряженности направление перемещения совпадает с направлением действия силы. Следовательно работа, произведенная при обходе всего контура всегда отлична от нуля.

Направление ЭДС индукции, возникающей в прямолинейном проводнике при его движении в магнитном поле определяется с помощью правила правой руки:

Е сли расположить правую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление движения проводника, то вытянутые четыре пальца покажут направление ЭДС индукции.

Мы рассмотрели случаи поступательного движения контура по отношению к вектору магнитной индукции .

Рассмотрим теперь случай вращательного движения контура по отношению к вектору магнитной индукции . Здесь возможны два случая

а) Контур вращается вокруг оси, которая параллельна вектору магнитной индукции . В этом случае число линий магнитной индукции пересекающих контур при его вращении остается неизменным. Следовательно, и

б ) Контур вращается вокруг оси, которая не параллельна вектору магнитной индукции. Рассмотрим наиболее простой и в то же время широко используемый на практике случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения перпендикулярна вектору магнитной индукции .

Обозначим нормаль к плоскости витка через и через угол между векторами и . Плоскость витка и ось вращения перпендикулярны плоскости чертежа.

Выберем начало отсчета времени t так, чтобы при угол . Тогда

где – угловая скорость вращения витка.

Магнитный поток сквозь площадку S, ограниченную контуром, согласно определению равен

При вращении контура величины B и S остаются неизменными, а изменяется только угол . Закон изменения угла определяется скоростью вращения рамки. Не останавливаясь подробно на выводе формулы для ЭДС индукции, запишем сразу конечный результат

Или с учетом того, что