Тема 4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Задача 4.1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 подряд без возвращения выбирают две цифры. Используя формулу полной вероятности, найдите вероятность того, что число, образованное этими цифрами, взятыми в порядке появления, будет чётным. Ответ: 2/5.

Задача 4.2. Детали изготовляются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1.5%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется небракованной. Ответ: 98,3%.

Задача 4.3. Партия радиоламп изготовлена двумя заводами, причём продукции первого завода в два раза больше, чем второго. Вероятность брака на первом заводе – 0.04, на втором – 0.06. Наудачу взятая лампа оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она была изготовлена на первом заводе. Ответ: 4/7 ≈ 0.57.

Задача 4.4. Произведено два незавсимых выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.7. Цель поражается при одном попадании с вероятностью 0.5, при двух попаданиях – с вероятностью 0.9. Найти вероятность того, что оба снаряда попали в цель, если оказалось, что цель поражена. Ответ: 0.651.

Задача 4.5. Болезнь α встречается у людей с вероятностью 0.7. Медицинский диагноз выявляет её с вероятностью 0.9 (если она есть у пациента) и ошибочно указывает на неё с вероятностью 0.15. Найти вероятность того, что пациент в действительности не болен этой болезнью, хотя врачи утверждают обратное. Ответ: 0.675.

Задача 4.6. Вероятности появления части 3-х типов равны 0.2, 0.5, 0.3. Счётчик их улавливает с вероятностями, соответственно равными: 0.8, 0.2, 0.4. Найдите вероятность того, что зарегистрированная частица есть частица 2-го типа. Ответ: 0.263.

Тема 5. Дискретные распределения

Задача 5.1. В обувной отдел вошли 5 покупателей, любой из них купит обувь 40-го размера с вероятностью 0.4. Найдите математическое ожидание числа покупателей, купивших обувь 40-го размера и вероятность того, что таких будет не менее трёх. Ответ: 2; 0.317.

Задача 5.2. В ящике находятся 3 белых и 2 чёрных шара. Найдите математическое ожидание числа белых шаров среди двух, вынутых из ящика. Ответ: 6/5.

Задача 5.3. Производится стрельба в цель до первого попадания, запас патронов неограничен. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7. Постройте ряд распределения числа произведённых выстрелов и найдите вероятность того, что будет сделано не более 3-х выстрелов.

Ответ: X – число произв. выстрелов, , .

Задача 5.4. Число вызовов, поступающих на АТС за время Т, распределено по закону Пуассона с параметром а, где а – среднее число вызовов, поступающих за время Т. Известно, что за минуту на АТС поступает в среднем 20 вызовов. Найдите вероятность того, что за 6 сек. на АТС поступит не менее двух вызовов. Ответ: .

Задача 5.5. Три одинаковых прибора совместно, но независимо, испытываются до тех пор, пока хотя бы один из них даст отказ. Вероятность отказа одного прибора при одном испытании равна 0.05. Найдите вероятность того, что будет произведено не менее 2-х испытаний и математическое ожидание числа испытаний. Ответ: 0.857; 6.99.

Задача 5.6. Вероятность попадания при 1-ом выстреле равна 0.5, при 2-ом – 0.6, начиная с 3-го – 0.7. Стрельба по цели ведётся до получения 2-х попаданий, но производится не более 4-х выстрелов. Найдите ряд распределения и математическое ожидание числа Х произведённых выстрелов. Ответ: , ; .

Задача 5.7. Автомобиль движется по трассе, вдоль которой имеется 3 светофора. Светофоры включаются независимо и каждый из них разрешает движение с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Ответ: 1.176.

Задача 5.8. В ящике находятся 4 белых и 3 чёрных шара. Найдите математическое ожидание числа белых шаров среди трёх, вынутых из ящика. Ответ: 12/7.