- •Тема 10. Похідна функції однієї змінної.
- •Тема 11. Диференціал функції однієї змінної.
- •Тема 12. Основні теореми диференціального числення.
- •Тема 13. Основні поняття теорії функцій багатьох змінних.
- •Тема 14. Невизначений інтеграл та його властивості.
- •Властивості первісної
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Табличні інтеграли
- •Тема 15. Основні методи інтегрування.
- •Тема 16. Поняття визначеного інтеграла та його застосування.
- •Тема 17. Поняття та властивості кратних інтегралів.
- •Тема 18. Диференціальні рівняння першого порядку.
- •Тема 19. Диференціальні рівняння вищих порядків.
- •Тема 20. Числові та степеневі ряди.
- •Висновки:
- •1) Функція є неперервною;
- •2) Ряд можна інтегрувати: ;
- •3) Ряд можна диференціювати: .
Тема 11. Диференціал функції однієї змінної.
Означення диференціала функції.
Геометричний зміст диференціала.
Правила обчислення диференціалів функцій.
Інваріантність диференціала першого порядку.
Диференціали вищих порядків.
Д иференціал, границя, збіжність, нескінченно мала величина, інваріантність, порядок диференціала.
Диференціалом функції називається головна лінійна відносно Δх частина приросту функції в точці х:
.
о(х) – нескінченно мала величина вищого порядку малості порівняно з Δх.
Властивість диференціала першого порядку зберігати зовнішній вигляд у випадку складної функції називають інваріантністю його форми.
Диференціали вищого порядку ( ) вже не мають властивості інваріантності форми:
1) для незалежної змінної u:
;
2) для u = φ(x):
.
Основна: . Додаткова: .
Дайте означення поняття «диференціал»?
Як пов’язаний диференціал з похідною?
Як отримати диференціал функції вищого порядку?
В чому зміст інваріантності форми диференціала першого порядку?
Чи впливає порядок диференціала на властивість інваріантності форми?
Тема 12. Основні теореми диференціального числення.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Наслідки з теореми Лагранжа.
Теорема Ферма.
1-е і 2-е правила Лопіталя.
Н еперервність, найбільше значення функції, найменше значення функції, похідна, кутовий коефіцієнт, диференційовність, границя.
Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], диференційовна на інтервалі (a, b), і f(a) = f(b). Тоді існує принаймні одна точка с (a, b) така, що f'(c) = 0 (теорема Ролля).
Доведення
Я кщо деяка функція f(x) неперервна на замкнутому проміжку, то вона набуває на цьому проміжку принаймні один раз свого найбільшого М і найменшого m значення.
l
Теорема Лагранжа: Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диферен-ційовна на інтервалі (a, b). Тоді існує принаймні одна точка с (a, b) така, що
.
Доведення
s || l
Я кщо точка х0 є точкою екстремуму функції f(x) і в цій точці диференційовна, то f'(x) = 0 – необхідна умова існування екстремуму (теорема Ферма).
Д ослідимо на екстремум функцію .
Згідно з теоремою Ферма, перевіримо необхідну умову його існування. Для цього продиференціюємо функцію і прирівняємо першу похідну до нуля:
.
Розв’язавши квадратне рівняння, отримаємо:
.
Отже, це і є точки можливих екстремумів. Використання програми будування графіків дозволяє в цьому упевнитися (див. рисунок).
1 -е правило Лопіталя: Нехай функції f(x) i g(x) диференційовні на інтервалі (a,b); , і g'(x) 0 на (a, b). Тоді при існуванні скінченної або нескінченної границі границя теж існує, причому .
1-е правило Лопіталя залишається в силі, якщо .
2 -е правило Лопіталя: Нехай функції f(x) i g(x) диференційовні на інтервалі (a,b); , і g'(x) 0 на (a, b). Тоді, якщо існує скінченна або нескінченна границя , то границя теж існує, причому .
Я кщо для похідних обох функцій f(x) і g(x) виконуються умови 2-го правила Лопіталя, то саме правило можна застосовувати повторно.
Д ослідити на існування границі при умові вираз .
Оскільки при виконанні умови границя і чисельника, і знаменника існує й дорівнює нулю, то виникає невизначеність типу . Застосуємо правило Лопіталя:
.
Основна: . Додаткова: .
В чому полягає основний зміст теореми Ролля?
Доведіть теорему Лагранжа.
Як формулюється необхідна умова існування екстремуму функції?
Як знайти границю відношення типу 0/0 чи /?
Чи можна застосовувати правила Лопіталя повторно?