Тема 13. Основні поняття теорії функцій багатьох змінних.

1. Приклади функцій багатьох змінних (ФБЗ).

2. Означення функції кількох змінних.

3. Основні поняття теорії ФБЗ.

4. Частинні похідні від функції багатьох змінних.

5. Поняття повного диференціалу ФБЗ.

6. Поняття повної похідної ФБЗ.

7. Похідна по напрямку. Градієнт.

8. Поняття екстремуму функції багатьох змінних.

9. Необхідні та достатні умови існування екстремуму ФБЗ.

Ф ункція, адитивність, функція корисності, еластичність, виробнича функція, границя, неперервність, приріст, частинний приріст, частинна похідна, повний диференціал, градієнт, екстремум, умовний екстремум, множник Лагранжа.

части

Деяка змінна z називається функцією незалежних змінних х та у і позначається , якщо кожній парі змінних (х, у) з деякої області їх зміни відповідає певне значення величини z.

Г рафічним представленням функції двох змінних є поверхня, що змінюється певним чином за правилом, що визначається аналітичним виглядом функції (див. графік).

Лінією рівня функції z = f(x, y) називається множина точок (x, y) площини хОу, в яких функція набуває одного й того ж значення С і визначається співвідношенням

f(x, y) = С.

П рикладом ліній рівня ФБЗ є лінії на топографічних картах, що позначають певну висоту місцевості над рівнем моря (див. справа). Як правило, віддаль між такими лініями є ознакою крутизни поверхні даної місцевості, тобто можна зробити висновок про швидкість зміни висоти в напрямку, перпендикулярному до ліній рівня.

Стала b називається границею функції f(x, y) при x  х₀, у  у₀, якщо для будь-якої послідовності точок (x_і, y_і) (з області визначення функції), відмінних від М(x₀, y₀), які прямують до точки М(x₀, y₀), відповідна послідовність значень функції f(x_і, y_і) завжди прямує до b:

Функція f(x, y) називається неперервною в точці М(x₀, y₀), якщо вона визначена в області, що містить точку М₀, та в самій точці М₀, і для неї виконується умова

.

Функція f(x, y) називається неперервною в точці М(x₀, y₀), якщо нескінченно малим приростам змінних х та у відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

.

Якщо існує границя відношення при умові, що Δх прямуватиме до нуля, то вона зветься частинною похідною функції f(x, у) по змінній х в точці (х, у):

.

П ри знаходженні частинної похідної по певній змінній всі інші змінні вважають постійними.

Головна частина повного приросту функції f(x, у) називається повним диференціалом функції й позначається символом dz:

,

або, увівши поняття диференціалів незалежних змінних dx і dy, можна записати так:

чи .

О бчислити повну похідну функції , якщо .

а) спочатку диференціювання, а потім підстановка:

.

б) спочатку підстановка, і потім диференціювання:

, звідки .

Вигляд похідних, обчислених різними способами, збігається.

Якщо при наближенні точки Р до точки М існує границя

,

то цю границю називають похідною від функції f(x, y) в точці М по напрямку l і позначають символом .

Вектор , який має своїми проекціями на координатних осях ∂z/∂x та ∂z/∂y, і вказує напрямок найшвидшого зростання функції f(x, y), називається градієнтом функції в точці М:

.

Максимумом функції f(x, y) називають таку величину f(x₀, y₀) цієї функції, яка більша за всі значення, що їх набуває дана функція в будь-яких точках, достатньо близьких до точки М(x₀, y₀).

Мінімумом функції f(x, y) називають таку величину f(x₀, y₀) цієї функції, яка менша за всі значення, що їх набуває дана функція в будь-яких точках, достатньо близьких до точки М(x₀, y₀).

Якщо диференційовна функція f(x, y) має екстремум у точці М, то в цій точці виконуються рівності (необхідні умови існування екстремуму)

.

П еревірити на існування екстремуму функцію в точці (0; 0).

Для заданої функції в точці (0 ; 0) необхідні умови виконуються:

.

Однак, екстремум функції в даній точці відсутній.

Д ослідити функцію на предмет існування екстремуму в точці М(0; 0).

Визначимо вигляд та значення частинних похідних першого порядку:

.

Застосуємо алгоритм перевірки типу екстремуму:

.

Отже, , що означає відсутність можливості визначити тип екстремуму та його існування взагалі.

Якщо функція z = f(x, y) має екстремум за умови, що виконання так званої умови зв’язку , то такий екстремум називають умовним або відносним.

Г еометрично відмінність між абсолютним і умовним екстремумами можна проілюструвати на прикладі земної поверхні в горах, де вершина гори буде абсолютним екстремумом (максимумом), а мінімум (чи максимум) траєкторії стежки, що проходить схилом гори на певному її відрізку – умовним екстремумом.

Функція F(x, y) називається функцією Лагранжа для функції z = f(x, y), якщо вона має структуру

,

де λ – деяке число (множник Лагранжа), а – умова зв’язку для змінних х та у.

З найти градієнт для функції у точці М₀(3;1;1) та похідну по напряму вектора , що утворює з координатними осями кути та .

Враховуючи, що сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює одиниці, визначимо кут між вектором і третьою віссю:

.

Частинні похідні функції в точці М₀(3;1;1) дорівнюють:

Отже, похідна по напряму дорівнюватиме:

.

Знайдемо градієнт функції u в точці М₀:

,

відповідно, довжина його дорівнюватиме

.

Величини напрямних косинусів для градієнтного вектора дорівнюватимуть:

; ;

.

Основна: . Додаткова: .

1. Сформулюйте означення функції багатьох змінних.

2. Що є графічною інтерпретацією функції багатьох змінних?

3. Що означає поняття «лінія рівня» для функції двох змінних?

4. Що таке частинна похідна і чим вона відрізняється від повної похідної ФБЗ?

5. Запишіть вираз для повного диференціала функції двох змінних і поясніть всі його компоненти.

6. Що таке «похідна по напрямку»?

7. Дайте означення градієнта функції багатьох змінних.

8. Сформулюйте необхідні й достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних.

9. Що таке умовний екстремум?