Тема 16. Поняття визначеного інтеграла та його застосування.
Обчислення площі криволінійної трапеції.
Обчислення обсягу випуску продукції при змінній продуктивності праці.
Поняття інтегральної суми та визначеного інтеграла.
Властивості визначеного інтеграла.
Невласний інтеграл.
Методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.
Застосування визначеного інтеграла.
І нтеграл, криволінійна трапеція, функція, площа, інтегральна сума, визначений інтеграл, невласний інтеграл.
Фігуру, обмежену кривою функції y = f(x), відрізком [a, b] осі 0х та прямими x = a і x = b, називають криволінійною трапецією.
Отже,
якщо
існує границя інтегральної
суми
при λ,
що прямує до нуля, незалежно від способу
поділу відрізка [a, b]
на частини та добору точок ξі,
то ця границя називається визначеним
інтегралом
від функції f(x)
на проміжку [a, b]
і позначається так:
.
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f(x) інтегровна на [a, b].
Властивості визначеного інтеграла:
.
.
.
В
изначити
інтеграл
при
.
Оскільки
при заданому значення α
межі
інтегрування співпадають (
),
то величина шуканого інтеграла дорівнює
нулю,
.
.
В
изначити
інтеграл
.
.
Якщо
функція
неперервна при
,
то інтеграл
називають невласним інтегралом першого роду або інтегралом з нескінченими межами інтегрування.
В
изначити
інтеграл
.
Існування границі дозволяє зробити висновок про збіжність інтеграла.
Я кщо для деяких підінтегральних функцій важко знайти первісну, виражену через елементарні функції, і обчислення визначеного інтеграла з використанням формули Ньютона-Лейбніца неможливе, то застосовують методи наближеного інтегрування, основною ідеєю яких є заміна визначеного інтеграла інтегральною сумою.
a)
В
изначити
наближене значення інтеграл
,
точне значення якого дорівнює одиниці.
Розіб’ємо
проміжок інтегрування на три, однакові
за величиною ділянки:
.
Згідно з формулою прямокутників,
наближене значення інтеграла дорівнюватиме:
.
Оцінимо похибку:
.
Як видно, отриманий результат набагато менше відхилився від точного значення інтеграла.
б)
в
)
В изначити наближене значення інтеграл методом трапецій.
Залишимо розбиття проміжку інтегрування попереднім, і отримаємо:
.
Як бачимо, даний метод дозволяє точніше обчислити наближене значення інтеграла.
Даний метод є найточнішим з трьох наведених методів наближеного обчислення.
Довжиною дуги називається границя довжини вписаної ламаної лінії при необмеженому зменшенні довжини її ланок.
y
S(xk)
f(x)
a
b
xk
x
Основна: . Додаткова: .
Яку фігуру називають криволінійною трапецією?
Що таке «інтегральна сума»?
Дайте означення визначеного інтеграла.
Що називають межами інтегрування?
Опишіть основні властивості визначеного інтеграла.
Для чого використовують формулу Ньютона-Лейбніца.
В чому принципова різниця між невизначеним і визначеним інтегралами?