Связь с производящей функцией

Z-преобразование числовой последовательности f (n) - аналитическая функция F (z) комплексного переменного z, определяемая рядом Лорана [ 6 ]

( 5.5 )

в окрестности бесконечно удаленной точки, являющейся правильной точкой функции F ( z ).

Условия существования Z-преобразования: если бесконечная числовая последовательность f ( n ), называемая также решетчатой функцией, имеет экспоненциальный порядок роста, т.е. при любом n ≥ 0

, ( 5.6 )

где M, - постоянные положительные числа, то ряд Лорана ( 5.5 ) сходится абсолютно в области плоскости комплексного переменного z, лежащей вне круга радиусом , а функция F (z) является аналитической в указанной области, т.е. при | z | > R.

Оригинал и изображение. Числовая последовательность f ( n ), удовлетворяющая условиям (5.6) существования Z-преобразования, называется начальной функцией (оригиналом), а функция F ( z ) как результат Z-преобразования (5.5) - изображением (Z-изображением) начальной функции f ( n ). Соответствие между оригиналом f (n) и изображением F ( z ) будем записывать (обозначать) следующим образом:

или

Связь между производящей функцией и Z-преобразованием. Если в правой части (5.1) сделать замену , то получим правую часть (5.5), т.е. Z-преобразование и производящая функция связаны простым равенством

, ( 5.7 )

иначе говоря, F (z) фактически является производящей функцией, соответствующей Z-преобразованию (дискретному преобразованию Лапласа).

В результате применения формулы (5.7) Z-преобразования трех (рассмотренных в качестве примеров при определении традиционного понятия производящей функции) последовательностей будут соответственно иметь вид:

1) для единичной последовательности чисел f ( n ) = 1 ( n = 0,1,2, ... )

;

2) первой последовательности сочетаний (k = 0,1,2, ... ; при n < k)

;

3) второй последовательности сочетаний (k = 0,1,2, ...)

Восстановление числовой последовательности f ( n ) по известному Z-преобразованию F (z). Решение данной задачи можно осуществить путем разложения F (z) в ряд Лорана вида (5.5) и нахождения любого элемента f ( n ) как коэффициента при в этом разложении.