Используя результаты пункта a, получаем

Таким образом, после элементарных преобразований окончательно имеем формулу 4 таблицы Z-изображений

.

в) Запишем заданные последовательности в виде

.

Из теоремы о дифферен­цировании изображения имеем

и, как следствие,

что соответствует формулам 8, 9 таблицы Z-изображений.

г) Представим заданную последовательность в виде

,

т.е.

, .

Воспользуемся результатом пункта б) и теоремой о смещении изображения. В результате получим

или, введя обозначение , после элементарных преобразований будем иметь

.

Так как для рассматриваемой начальной функции , то с уче­том последнего искомое Z-изображение имеет вид

,

совпадающий с формулой 14 таблицы изображений.

Заметим, что в процессе решения задачи получена также формула 12 таблицы Z-изображений.

Пример 5.3. Решить с помощью аппарата Z-преобразования

(операционного подхода) рекуррентные уравнения с известными начальными условиями:

a)

б)

a) Записываем в соответствии с (5.17) и формулой 3 таблицы Z-изображений группу Z-преобразований

и подставляем их в исходное рекуррентное уравнение. В результате сна­чала получаем изображающее уравнение (5.15)

в котором второй сомножитель левой части равенства есть не что иное, как характеристический многочлен (5.16), а затем и аналитический вид (5.19) Z-изображения искомой последова­тельности

Выполняем разложение F (z) на сумму элементарных дробей. В данном случае оно представляется следующим образом:

С помощью формулы 3 таблицы Z-изображений определяем оригиналы каждого из трех слагаемых в F (z)

и, как следствие, записываем в виде суммы (5.21) конечный аналитический вид искомой пос­ледовательности (решения рекуррентного уравнения)

б) Так как в данном случае правая часть g (n) = 0, т.е. исходное уравнение является однородным, то G (z) = Z {g (n)} = 0. Записав в соответствии с (5.17) группу Z-изображений

и подставив их в исходное рекуррентное уравнение, получим изображающее уравне­ние

и выражение для Z-изображения искомой последовательности

Здесь нет необходимости разложения на сумму элементарных дробей. Проще при восстановлении оригинала воспользоваться формулами 4, 5 таб­лицы изображений. Для этого сначала запишем знаменатель в виде