Примеры задач с решениями

Пример 5.1. Найти производящие функции и решить рекуррентные уравнения с известными на­чальными условиями:

a) f ( n+2 ) – 5 f ( n+1 ) + 6 f ( n ) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 5,

б) f ( n+2 ) + f ( n ) = 0, f ( 0 ) = 0, f ( 1 ) = 2.

a) Так как порядок рекуррентного уравнения k = 2, то полиномы в числителе и знаменателе производящей функции f (x) = B (x) / A (x) будут иметь вид

где .

Найдем с помощью системы (5.4) неизвестные коэф­фициенты полинома B (x)

.

В итоге записываем производящую функцию

.

Для нахождения решения уравнения (путем восстановления последователь­ности по производящей функции) запишем знаменатель в виде произведения

A (x) = ( 1 – 3x ) ( 1 – 2x)

и представим f (x) в виде суммы элементарных дробей

.

Применяя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрес­сии к каждой дроби (для первой знаменатель прогрессии равен 3x, а для второй - 2x), получаем степенные ряды

Подставляя эти ряды в f (x), после элементарных преобразований бу­дем иметь

.

Таким образом, искомое решение рекуррентного уравнения, удовлет­воряющее заданным начальным условиям, совпадает с общим членом послед­него ряда и имеет вид

б) В данном случае k = 2, ,

.

Записываем производящую функцию f (x) и раскладываем ее на сумму элементарных дробей

.

Представляем элементарные дроби в виде сумм геометрических прог­рессий

и подставляем эти суммы (степенные ряды) в f (x). В результате получа­ем, что f (x) является производящей функцией последовательности

Подставив в f (n) формулы Эйлера и Муавра для комплексных чисел и их сте­пеней

после преобразова­ний находим окончательный вид искомого решения рекуррентного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

.

Пример 5.2. Используя известное Z-изображение единичной последовательности (дискретной функции Хевисайда: при любом n ≥ 0) и свойства (теоремы ) Z-преобразования, найти изображения начальных функций:

В соответствии с таблицей Z-изображений для единичной функции Хевисайда имеет место

.

a) Из теоремы о смещении изобра­жения имеем

,

т.е.

,

где , что соот­ветствует формуле 2 таблицы Z-изображений.

б) Запишем известное представление синуса с помощью формулы Эйлера

и применим к нему свойство линейности

.