3.1.4. Энтропия

В теории информации энтропия вводится для систем, которые могут находиться в различных состояниях с различной вероятностью .

Шенноном было показано, что состояние неопределенности характеризуется энтропией, которая вводится как

.

Мерой информации, содержащейся в сообщении, является изменение энтропии. Если сообщение полностью определяет текущее состояние системы, то после его получения . Тогда информация, содержащаяся в сообщении, .

Разобьем фазовое пространство динамической системы на непересекающиеся множества . Пусть каждое множество имеет диаметр не более , а его мера равна . Можно определить количество информации, которое дает знание текущего состояния системы с точностью . С течением времени, если система хаотическая (перемешивающая), образы почти всех множеств будут иметь непустое пересечение со всеми остальными множествами . Перемешивающая система с течением времени увеличивает неопределенность своего состояния. В таком случае говорят, что система производит информацию. Скорость производства информации или неопределенности называют метрической энтропией динамической системы.

Энтропия динамической системы позволяет определить время предсказуемости ее поведения

.

Различают объемную и линейную предсказуемость. Объемная предсказуемость зависит от нарастания количества фазовых объемов , по которым расползается пятно первоначальной погрешности. Линейная предсказуемость определяется разницей между истинной и возмущенной траекториями . Энтропия связана с объемной трактовкой предсказуемости. Линейная трактовка связана с характеристическими показателями Ляпунова.

3.1.5. Автокорреляционная функция

При изучении сложных режимов движения используется автокорреляционная функция, которая является достаточно эффективной характеристикой поведения исследуемой системы. При периодической или квазипериодической динамике автокорреляционная функция будет периодической или квазипериодической. Если с течением времени автокорреляционная функция стремится к нулю, и система не имеет устойчивых стационарных точек, то следует ожидать, что будет наблюдаться хаотический режим движения. Стремление к нулю автокорреляционной функции используется в качестве одного из критериев динамического хаоса.

Наряду с автокорреляционной функцией (особенно при экспериментальных исследованиях) для установления хаотичности движения часто применяется спектральная плотность (или просто спектр). Характер спектральной плотности – один из самых простых и вполне надежных критериев, используемых для анализа режимов движения. Если система демонстрирует периодическую динамику, то спектр такого движения будет дискретным. Он будет состоять из линий, отвечающих частотам движения и кратным гармоникам. Для случая хаотических режимов спектр будет сплошным.

3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов

Как уже отмечалось выше, одним из ключевых признаков детерминированного хаоса является высокая чувствительность к начальным данным или экспоненциальное (в среднем) удаление бесконечно близких траекторий.

Аттрактор для случая регулярной динамики может быть либо устойчивой стационарной точкой, либо устойчивым предельным циклом, либо инвариантным тором. Все эти подмножества являются подмногообразиями фазового пространства.

Математическим образом хаотических движений служит странный аттрактор, который уже не обладает гладкой структурой и достаточной непрерывностью, предполагаемых в понятии подмногообразия. Странные аттракторы имеют более сложное геометрическое строение, чем многообразия. На асимптотической стадии траектория стремится к притягивающему множеству, обладающему фрактальной структурой, или фракталу. Типичными чертами фрактальных множеств является масштабная инвариантность, несовпадение метрической и топологической размерностей, негладкие границы.

Масштабная инвариантность предполагает, что при увеличении масштаба некоторой подобласти странного аттрактора мы получим объект, геометрически сходный по своей структуре с целым аттрактором. Топологической характеристикой, описывающей степень сложности фрактального множества, одновременно и степень хаотизации движения по аттрактору, является его дробная размерность, которая указывает на близость этого множества к соответствующему гладкому многообразию. Дробная размерность используется в качестве одного из критериев отличия странных аттракторов от простых аттракторов. Для описания странных аттракторов предложены также вероятностные размерности, при вычислении которых главную роль играет частота посещения различных областей аттрактора типичными фазовыми траекториями.

Размерность аттрактора служит характерным количественным критерием, позволяющим различать структуру аттрактора.

Таким образом, характерными признаками детерминированного хаоса являются:

‑ существенная зависимость движений динамических систем от начальных данных;

‑ размазывание малого объема фазового пространства по всему аттрактору и возникновение эффекта перемешивания;

‑ беспорядочное, нерегулярное поведение фазовой траектории на аттракторе;

‑ широкополосный спектр мощности исследуемого процесса;

‑ малый радиус корреляции процесса.

В качестве математических критериев динамического хаоса выступают: показатели Ляпунова, энтропия, плотность инвариантной меры, фрактальная размерность, автокорреляционная функция, спектр мощности.