- •Оглавление
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- •Введение
- •1. Модели нелинейных динамических систем
- •1.1. Потоки
- •1.2. Каскады
- •1.3. Связь уравнения движения и отображения
- •1.3.1. Непрерывное время
- •1.3.2. Дискретное время
- •1.4. Уравнения в вариациях
- •1.5. Диссипативные и консервативные системы
- •2. Регулярная динамика
- •2.1. Особые точки
- •2.1.1. Основные определения
- •2.1.2. Классификация особых точек линейных
- •2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- •2.1.4. Особые точки каскада
- •2.2. Периодические решения
- •2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- •2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- •2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- •2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- •2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- •2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- •2.3.2. Предельные множества
- •2.3.3. Притягивающие множества
- •2.3.4. Аттрактор
- •2.3.5. Поглощающее множество
- •2.4. Устойчивость
- •2.4.1. Понятие устойчивости
- •2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- •2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- •2.4.4. Структурная устойчивость
- •3. Хаотическая динамика
- •3.1. Признаки хаотического поведения
- •3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- •3.1.2. Инвариантная мера
- •3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- •3.1.4. Энтропия
- •3.1.5. Автокорреляционная функция
- •3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- •3.2. Характеристические показатели ляпунова
- •3.2.1. Непрерывные динамические системы
- •3.2.2. Дискретные динамические системы
- •3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- •3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- •3.3. Инвариантные меры динамических систем
- •3.3.1. Типы вероятностных мер
- •3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- •3.3.3. Эргодическая мера
- •3.3.4. Физическая мера
- •3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- •3.4. Эргодичность и перемешивание
- •3.4.1. Эргодичность
- •3.4.2. Перемешивание
- •3.4.3. Перекладывание
1.3.2. Дискретное время
Если время меняется дискретно, то задается правило, позволяющее по точке в момент времени , находить точку в момент времени . Это определяет отображение . Таким образом, . Очевидно, что , и т. д.
Пример. Пусть имеем линейную систему разностных уравнений . Тогда отображение выписывается в явном виде .
1.4. Уравнения в вариациях
Пусть – дифференцируемое отображение области пространства в область пространства . Производной отображения в точке называется главная линейная часть отображения в точке , т.е. линейный оператор такой, что
.
В координатах и отображение записывается в виде векторной функции . Матрица линейного оператора в координатах – это матрица Якоби векторной функции :
, , , , .
Теорема 1.1. Пусть семейство дифференциальных уравнений (1.3) задано векторными полями , непрерывными в некоторой области пространства вместе со своими производными и . Тогда решение семейства (1.3) с начальным условием непрерывно дифференцируемо по , . Если зависимость поля от параметров лишь непрерывна, то и зависимость решения от параметров непрерывна.
Уравнения для производных решения по начальным условиям и параметрам выписываются в явном виде. Обозначим через решение системы (1.2) с начальным условием . Фиксируем и положим
.
При каждом линейный оператор действует из в . Из уравнения (1.2) следует, что операторнозначная функция удовлетворяет следующему уравнению в вариациях:
, где .
Последнее уравнение является линейным однородным неавтономным дифференциальным уравнением, причем – единичная матрица.
Найдем теперь уравнение в вариациях для производной решения семейства (1.3) по параметрам. Пусть – решение семейства (1.3) с начальным условием . Фиксируем и положим
.
При каждом линейный оператор действует из в . Из уравнения (1.3) следует, что операторнозначная функция удовлетворяет уравнению в вариациях:
,
где
, .
Это линейное неоднородное неавтономное дифференциальное уравнение, причем .
1.5. Диссипативные и консервативные системы
Любая область фазового пространства под воздействием фазового потока переходит за время в некоторую другую область . Обозначим через объем области фазового пространства, получающейся при сдвиге в течение времени всех точек некоторой начальной области вдоль фазовых кривых автономной системы дифференциальных уравнений (1.1). Тогда изменение объема удовлетворяет уравнению
,
где – сумма диагональных элементов оператора , а – евклидов элемент объема.
Определение 1.8. Система уравнений (1.1) (динамическая система) называется консервативной, если объем произвольной области фазового пространства не меняется со временем, и диссипативной, если объем некоторой области фазового пространства со временем уменьшается.
Таким образом, если всюду в фазовом пространстве , то система сохраняет объем и является консервативной. Если существует область фазового пространства, в которой , то система (1.1) диссипативна в этой области.