2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением

Пусть система (1.1) имеет периодическое решение . Для его исследования воспользуемся линеаризацией. Предположим, что , тогда

.

Проведя линеаризацию системы (1.1) на ее ‑периодическом решении , получим линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.10) с ‑периодической матрицей и . Здесь . Поведение траекторий, близких к ‑периодическим траекториям, можно описывать линейной системой (2.10). По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке линейной неавтономной системы (2.10) первого приближения можно сделать вывод о свойствах периодического решения нелинейной системы (1.1).

Однако вопрос об устойчивости периодического решения оказывается нетривиальным, поскольку матрица системы (2.14) всегда имеет хотя бы одно нулевое собственное значение, что не позволяет сделать вывод об устойчивости. Покажем это.

Если  – решение автономной системы (1.1), то также будет решением для любого (это просто сдвиг вдоль траектории), т. е. . Продифференцируем это соотношение по , предположим и обозначим . В результате получим , но , поэтому . Иными словами, уравнение имеет хотя бы одно периодическое решение . Выразим его через фундаментальную матрицу

,

откуда следует, что

.

Таким образом,  – собственный вектор матрицы монодромии, отвечающий собственному значению , и одновременно собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению . Однако этот нулевой характеристический показатель связан с движением по циклу и не должен влиять на устойчивость. Это утверждение можно строго обосновать при помощи построения сечения Пуанкаре.

2.2.3. Построение сечения Пуанкаре

Сечение Пуанкаре позволяет избавиться от нулевого характеристического показателя, связанного с движением вдоль цикла. Каждая динамическая система с непрерывным временем порождает отображение вида

.

Однако это отображение не избавляет от нулевого характеристического показателя, поскольку инвариантность относительно сдвига вдоль цикла остается. Избавиться от инвариантности можно, избавившись от самого движения по циклу. Для этого в ‑мерном пространстве выбирается некоторая гладкая ‑мерная гиперповерхность , к которой предъявляются два требования. Циклическая траектория не должна касаться гиперповерхности. По возможности гиперповерхность выбирается так, чтобы траектории пересекали ее почти перпендикулярно. Точка замкнутой траектории должна пересекать гиперповерхность только один раз в некоторой точке , двигаясь с одной стороны гиперповерхности на другую. Точки, принадлежащие поверхности , будем обозначать не , а . Возможно еще одно пересечение при движении в обратном направлении. Обычно гиперповерхность определена глобально, но иногда определяют только в окрестности , и тогда цикл пересекает один раз. Благодаря непрерывности отображения близкие к циклу траектории также не будут касаться , и в окрестности цикла можно построить так называемое отображение первого возвращения, или отображение Пуанкаре (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Отображение Пуанкаре

Очевидно, что . Возьмем некоторую точку при и рассмотрим траекторию . Обозначим через момент времени, когда траектория снова пересечет гиперповерхность в точке . При либо , либо , но и  – векторы, определяющие направление движения, лежат по разные стороны от . Точка существует, если она лежит достаточно близко к циклу.

Определим новую динамическую систему с дискретным временем . Ее фазовым пространством будет поверхность , а сама система будет порождаться отображением

.

Целые числа нумеруют моменты пересечения траекториями поверхности Пуанкаре, а цикл превращается в неподвижную точку . Размерность нового фазового пространства будет на единицу меньше. Обозначим через матрицу производных . Существует теорема, которая утверждает, что собственные значения матрицы , , совпадают с собственными значениями матрицы монодромии, за исключением значения , отвечающего движению вдоль цикла.

Сечение Пуанкаре позволяет свести задачу об устойчивости периодического решения к задаче об устойчивости неподвижной точки отображения . Сечение Пуанкаре используется при исследовании сложных временных режимов, с целью упростить наблюдаемую картину и перейти от потока к каскаду меньшей размерности.