3.2. Фермионы и бозоны

В простейшем случае системы двух слабовзаимодействующих микрочастиц, когда их потенциальной энергией взаимодействия, вхо­дящей в уравнение Шредингера, можно пренебречь по сравнению с кинетической, частицы "1" и "2" можно считать квазисвободными и описывать волновыми функциями, представляющими плоские волны

и (3.1)

с волновыми векторами и . Предполо­жим, что частицы имеют одинаковые энергии: Е₁ = Е₂, т.е.  =  и примерно одинаковое направление движения в точки и , расположенные близко друг к другу. Поскольку вероятность одно­временного обнаружения невзаимодействующих частиц "1" и "2" вблизи точек и , соответственно, равна произведению независи­мых вероятностей, то такая двухчастичная система будет описываться волновой функцией

(3.2)

Аналогичный вид имеет и волновая функция, описывающая обнаружение частицы "1" в , а частицы "2" в и ^:

. (3.3)

В этом выражении отличается от k₁, а от k₂ направлением в пространстве. В случае различимых (например, классических) час­тиц частота регистрации их в точках и пропорциональна вероят­ности обнаружения либо частицы "1" в , а частицы "2" в , либо "1" в , а "2" в , равной сумме вероятностей этих несовместимых событий (поскольку перестановка различимых частиц изменяет со­стояние системы), и равна:

_разл = ₁ +  ₂ , (3.4)

где ₁ ~ ₁ +  ₂ ; ₁ ~ (r_1’ r₂)²;  ₂ ~(r₂, r₁)²;

Если частицы тождественны, то полная волновая функция (r₁,r₂);(r₂,r₁)], описывающая вероятность одновременного обнару­жения их в точках и , вследствие неразличимости двух состоя­ний, отличающихся перестановкой частиц местами, должна быть оп­ределена как суперпозиция волновых функций, определяющих эти два тождественных состояния. При этом интерферирующие волновые функции, описывающие неразличимые состояния, могут иметь неко­торый сдвиг по фазе, поскольку физически измерима только вероят­ность обнаружения микрочастиц в указанных точках и важно, чтобы она сохранялась при их перестановке, не изменяющей состояния сис­темы. Таким образом, (r_1’ r₂)² =(r₂, r₁)², откуда (r_1’ r₂) = (r₂, r₁). Волновая функция, удовлетворяющая этому равенству с положитель­ным знаком, называется симметричной, с отрицательным - антисим­метричной. При этом следует учитывать, что обмен частиц "местами" означает обмен состояниями, т.е. волновыми функциями. Другими словами, при перестановке частица "1" попадает в состояние частицы "2" и наоборот . Знак соотношения определен фа­зовым множителем. Здесь необходимо отметить, что двухчастичная волновая функция не является трехмерной пространственной волной, поскольку она зависит уже от шести пространственных координат и . Приведенное соотношение можно преоб­разовать, введя в одну из волновых функций фазовый множитель e^i, определяющий сдвиг фаз между ними: (r₁,r₂) = (r₂,r₁).e^i. Таким образом, знаку "плюс" соответствует  = 0, а знаку "минус"  = , т.е. в первом случае - функции тождественных частиц интерферируют в фазе, а во втором - в противофазе. Микрочастицы, для которых вол­новые функции тождественных состояний, возникающих при переста­новке тождественных частиц, интерферируют в фазе ( = 0 и при пе­рестановке частиц волновая функция не меняет знак, т.е. симметрич­на), называются бозонами. Фермионами называются микрочастицы, интерферирующие при перестановке в противофазе  =  и волновая функция антисимметрична, так как меняет знак при перестановке). При этом оказывается, что фермионы обладают полуцелым спином, т.е. проекция спина на выделенное направление ( , а бозоны - целым спином . К фермионам относятся электрон, протон, нейтрон; к бозонам - фотон, фонон, -частица, а так­же ядра, состоящие из четного числа нуклонов. Элементарного объясне­ния тому, что частицы с полуцелым спином обладают антисиммет­ричной волновой функцией, а с целым спином - симметричной, не существует. Объяснение было найдено Паули только в рамках реляти­вистской квантовой теории поля.

В связи с этим приведем замечание известного американского фи­зика Р. Фейнмана: "Это одно из немногих мест в физике, когда прави­ло формулируется очень просто, хотя столь же простого объяснения ему не найдено... По-видимому, это означает, что мы до конца не по­нимаем лежащего в его основе принципа".

Фермионы и бозоны вследствие их различного поведения в кол­лективе себе подобных микрочастиц подчиняются разным квантовым статистикам, т.е. функции распределения их по квантовым состояниям различны. Уточним понятие "квантовое состояние" микрочастицы. Квантовое состояние микрообъекта однозначно определяется видом волновой функции (с учетом спина), которая, в свою очередь, одно­значно определяет его динамические параметры через соответствую­щие квантовые числа. Если состояние классической частицы опреде­ляется заданием трех координат и трех проекций импульса, то в слу­чае квантового объекта его состояние задается набором четырех (с учетом проекции спина) физических величин, необходимых для его полного описания. Выбор этих величин определяется, в основном, видом квантовой системы. Как мы видели на примере атома водорода, рассмотренного в лекции 5, квантовое состояние электрона в центрально-симметричном кулоновском поле однозначно задается значениями энергии, орбитального момента импульса, его проекции и проекции спина, которые выражаются через квантовые числа n, l, m_l, m_s. Для фотона, например, квантовое состояние может быть задано его энер­гией и спином. В случае квантового ансамбля микрочастиц типа иде­ального газа, в котором волновые функции микрочастиц можно рас­сматривать как плоские (или сферические) волны , квантовое состояние удобно задавать набором проекций k_x, k_y, k_z волнового век­тора (k² = k_x² + k_y² + k_z²) или импульса , которые определяют ве­личину полной энергии. Таким образом, в дальнейшем под выражени­ем "попасть в одно и то же квантовое состояние" мы будем понимать "обладать одним и тем же набором проекций импульса" и соответст­венно одинаковой энергией, а также одинаковой проекцией спина.

Волновая функция системы двух тождественных частиц, как уже отмечалось, есть суперпозиция волновых функций, описывающих тождественные состояния, отличающиеся их перестановкой. Следова­тельно, частота регистрации тождественных частиц в точках и , пропорциональная вероятности их одновременного обнаружения в указанных точках, задается выражением:

(3.5)

- равна 0 или  для бозонов и фермионов соответственно.

Рассмотрим "попадание" двух частиц в одинаковое квантовое со­стояние. Это значит, что они должны обладать не только одинаковой величиной импульса (или ) , но и одинаковым направлением векто­ра в одной и той же точке (вообще говоря, они могут иметь разницу в импульсах, но меньшую, чем допускает соотношение неопределенностей).

При , когда и ( ) одночастичные волновые функции в точке имеют вид: . Кроме того, поскольку при направления движения частиц сливаются, а си­ловым взаимодействием между ними мы пренебрегаем, то ₁(r)  ₂(r). В этом случае двухчастичная волновая функция

(3.6)

дает вероятность обнаружения в точке одновременно двух частиц в одинаковых квантовых состояниях.

Частоты (вероятности) одновременной регистрации двух таких частиц в данной точке для частиц различного типа будут задаваться выражениями:

* тождественные бозе-частицы: (_тожд)^бозе ~ 4₁(r)².₂(r)² ;

* различимые частицы: _разл ~ 2₁(r)² ₂(r)²;

* тождественные ферми-частицы: (_тожд)^ферми ~ ₁(r)₂(r) - ₂(r)₁(r)².

Для различимых частиц результат получен в предположении их независимости, когда вероятности (частоты) несовместимых вследст­вие различимости частиц событий (частица "1" в , а частица "2" в , либо наоборот) складываются.

Результат, полученный для тождественных бозе-частиц, говорит о том, что в этом случае их нельзя считать независимыми, т.е. между ними возникает некое взаимодействие, которое можно представить следующим образом. Если частицы независимы, т.е. вероятность об­наружения в данной точке (в данном состоянии) одной не зависит от того, есть ли там другая, то частота (вероятность) обнаружения в этой точке одной из частиц в присутствии другой есть _разл. В случае же тождественных бозонов частота (вероятность) обнаружения в дан­ном квантовом состоянии одного из них в присутствии другого (_тожд)^бозе = 2_разл присутствие одной частицы в данном состоянии влияет на другую, увеличивая вероятность "попадания" ее в это состояние в два раза по сравнению с тем случаем, когда состояние не занято. Другими словами, между тождественными частицами возникает некоторое взаимодействие, которое назвали обменным. Оно не имеет аналогов в классической физике и формально вво­дится в квантово-механичеекие соотношения через потенциал взаимодействия, характеризующий "статистическое притяжение" бозонов.

Можно показать, что наличие в данном состоянии n бозонов уве­личивает вероятность заполнения этого состояния в (n + 1) раз.

В случае ферми-частиц (_тожд)^ферми ~ (r)² = 0, т.е. в данном квантовом состоянии в данной точке нельзя обнаружить одновременно два фер-миона (подразумевается, что они обладают одинаково направленными спинами, т.е. состояния полностью тождественны). Другими словами, полученный для фермионов результат означает, что они подчиняются принципу Паули, рассмотренному в лекции 5 для электронов: в данном квантовом состоянии в данный момент времени в данной точке может находиться не более одного фермиона. По аналогии со "статистическим притяжением" бозонов это можно рассматривать, как своеобразное "статистическое отталкивание" фермионов.

Дальнейшее рассмотрение будет в значительной степени отно­ситься к идеальному газу тождественных частиц, когда их силовым взаимодействием можно пренебречь, а влияние обменного взаимодей­ствия зависит от состояния газа как системы.

Специфика коллективов фермионов и бозонов может проявиться только в случае конечного числа возможных состояний коллектива. В противном случае, при бесконечном числе возможных состояний (значений координат, импульса, энергии) и конечном числе частиц для каждой частицы существует также бесконечный набор числа состоя­ний. Это сводит к нулю вероятность "попадания" двух микрочастиц в одно квантовое состояние и, следовательно, фермионный и бозонный коллективы будут вести себя одинаково. Такие коллективы называют­ся невырожденными и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана. Если число состояний сравнимо с числом микро­частиц, то коллектив называется вырожденным. В таких коллективах, которые могут образовываться только квантово-механическими объ­ектами, и проявляется влияние принципа Паули, приводящее к раз­личным статистическим закономерностям для фермионов и бозонов.

К вырожденным коллективам относится газ свободных электронов в металле при не слишком высоких температурах.

Однако даже в случае невырожденного коллектива и фермионы, и бозоны остаются квантовыми микрообъектами, поскольку, как следу­ет из рассмотренного в лекции 5 случая движения электрона в ограничен­ной области пространства (потенциальный ящик, квантовый осцилля­тор, атом водорода), энергия микрочастицы квантуется, т.е. принимает дискретный набор значений. Это связано с тем, что в случае квантово-механических объектов мы можем говорить о наборе p_x, p_y, p_z только в пределах точности определения этих проекций, задаваемой соотноше­нием неопределенностей. При этом импульсу, принимающему значе­ния вблизи (p² = p_x² + p_y² + p_z²), будет соответствовать несколько квантовых состояний, отличающихся набором различных значений проекций, т.е. направлением вектора импульса в пространстве. Кван­тование импульса и энергии микрочастиц, составляющих квантовый ансамбль, принято описывать в некотором многомерном фазовом про­странстве.