3.6. Приложение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу

Фотоны или кванты электромагнитного излучения имеют спин, равный единице, следовательно, как и к фононам - квантам колебаний решетки кристалла, рассматриваемым в последующих лекциях, к ним приложима стати­стика Бозе-Эйнштейна. При рассмотрении в п. 3.2 тенденции бозонов к "объединению", проявляющейся в увеличении вероятности появле­ния в данном состоянии (n+1)-го бозона при наличии в нем n таких же бозонов, мы не конкретизировали источник квазичаcтиц. Следова­тельно, полученные результаты вполне могут быть применимы, на­пример, к излучению фотонов атомами стенки замкнутой полости, в которой находится фотонный газ. В этом случае полученный результат можно трактовать следующим образом: если мы имеем возбужденный атом, способный излучить фотон с энергией h = E₂ – E₁ (E₂ и E₁) - энергии соответственно возбужденного и основного состояний атома), то в присутствии внутри полости n таких же фотонов вероят­ность такого испускания увеличивается в (n+1) раз по сравнению со случаем их отсутствия. Таким образом, вероятность испускания равна:

(3.34)

где W₁ - вероятность испускания фотона при отсутствии в полости других фотонов, т.е. вероятность самопроизвольного (спонтанного) излучения.

Тогда слагаемое nW₁ можно трактовать как вероятность индуци­рованного наличием других фотонов перехода атома из возбужденно­го состояния в основное с излучением фотона. С другой стороны, нам известно (например, из теории Бора), что атом, находящийся в состоя­нии с энергией Е₁, способен поглощать фотон h, переходя в возбуж­денное состояние с энергией E₂. Вероятность такого процесса, естест­венно, пропорциональна числу присутствующих в полости фотонов, т.е. равна nW^погл. При n >> 1 из условия равновесия nW₁^изл =nW^погл сле­дует, что W^погл = W₁^изл = W₁, т.е. если интенсивность света измеряется количеством фотонов, то коэффициенты, характеризующие процессы поглощения, индуцированного и спонтанного излучения (коэффи­циенты Эйнштейна), равны друг другу.

П

(3.35)

редположим, что в замкнутой полости находятся N₁ атомов в ос­новном и N₂ - в возбужденном состояниях, а n - среднее число фотонов в состоянии с энергией h = E₂ – E₁, находящихся в тепловом равнове­сии с атомами. При тепловом равновесии, как следует из статистиче­ской механики:

К

(3.36)

роме того, в состоянии равновесия скорости испускания ( и поглощения фотонов должны быть равны, т.е.:

Подставляя (3.36) в (3.35), получаем среднее число фотонов в дан­ном состоянии c частотой , т.е. функцию распределения фотонов по энергиям:

(3.37)

Сравнивая это выражение с функцией распределения Бозе-Эйнштейна, приходим к выводу, что для фотонов  = 0.

Рассчитаем теперь энергию фотонов с частотой  в интервале d, учтя при этом, что данной энергии E = h соответствуют несколько состояний, отличающихся направлением импульса и поляризацией, что и отражено в функции плотности числа состояний g(Е). Учитывая, что импульс фотона p_ф = h/c, можно найти число состояний в объеме V_о для фотонов, обладающих частотой :

(3.38)

Поскольку каждой частоте соответствуют два состояния, отли­чающиеся поляризацией, то плотность числа состояний для единицы объема:

(3.39)

и число фотонов, обладающих данной частотой в интервале d,

(3.40)

Поскольку энергия этих фотонов dЕ() = h.dn(), то энергия излу­чения в единице объема, приходящаяся на единичный интервал час­тот:

(3.41)

Это выражение известно как формула Планка для испуcкательной способности абсолютно черного тела.

В заключение отметим, что выражение для средней энергии фото­нов, обладающих частотой , можно также получить, исходя из пред­ставления о стоячих электромагнитных волнах в замкнутой полости - абстрактных квантовых осцилляторах, так что, умножив это выраже­ние на g(), мы опять придем к формуле Планка. Такой подход применен в одной из последующих лекций для описания свойств квазичастиц фононов - квантов кол­лективных колебаний решетки кристалла, также подчиняющихся ста­тистике Бозе-Эйнштейна.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте принцип тождественности микрочастиц.

2. Как определяется волновая функция, описывающая квантовое состояние, достигаемое несколькими неразличимыми путями? Приве­дите примеры.

З. Что такое фермионы и бозоны?

4. Как возникает квантование фазового пространства? Что такое плотность числа состояний?

5. Что такое вырожденный и невырожденный коллектив микрочас­тиц? При каких условиях квантовые распределения переходят в клас­сические?

6. Что такое энергия Ферми и чем она определяется при Т = 0 К?

7. Как изменяется положение уровня Ферми с ростом температу­ры? Что такое температура вырождения?

8. Что такое плотность числа состояний фотонов и спектральная плотность излучения?

 В дальнейшем для краткости будем говорить «обнаружение в точке » вме­сто физически верного «обнаружение вблизи точки в объеме dV_o» или «об­наружение в интервале от до ».

20