- •3. Основы квантовой статистики
- •3.1. Квантовый ансамбль микрочастиц
- •3.2. Фермионы и бозоны
- •3.3. Фазовое пространство. Плотность состояний
- •3.4. Распределение частиц по квантовым состояниям. Виды статистик
- •3.5. Применение статистики Ферми-Дирака к электронному газу в металлах
- •3.6. Приложение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу
3.4. Распределение частиц по квантовым состояниям. Виды статистик
Одной из основных задач статистики является определение числа dn(E) частиц коллектива (например, идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия), обладающих значениями энергии от Е до E + dE. Очевидно, что dn(E) будет равно произведению числа состояний в dЕ на среднее число частиц, находящихся в каждом из этих состояний. При этом, если в классической статистике число частиц со строго определенным значением энергии равно нулю из-за наличия непрерывного набора значений энергии при конечном числе частиц, то для квантовых объектов можно говорить о числе частиц со строго определенным значением энергии, так как набор ее возможных значений дискретен.
Обычно вводится функция распределения частиц по энергиям f(Е), которая дает среднее число частиц в состояниях с энергией от Е до E + dE. Тогда dn(E) = g(E)f(E)dE. Число частиц с данной Е и разными спинами учитывается множителем (2s + 1) в выражении для плотности состояний (3.9).
Как следует из рассмотрения, проведенного в п. 3.2, характер заполнения квантового состояния фермионами и бозонами различен, что определяет различие в их функциях распределения: для бозонов - это функция Бозе-Эйнштейна (fБ-Э), для фермионов - Ферми-Дирака (fФ-Д). Прежде чем заняться получением вида этих функций, вспомним классическую функцию распределения Максвелла-Больцмана:
(3.10)
полученную в предположении, что переход частиц из одного энергетического состояния в другое не зависит от числа частиц в конечном состоянии. Здесь Е - полная энергия частиц; - их химический потенциал, равный изменению внутренней энергии системы при изменении числа частиц на единицу (в условиях постоянства объема и энтропии); k - постоянная Больцмана.
В случае бозе-частиц, как упоминалось в п. 3.2, вероятность "заполучить" бозон в данное состояние с энергией Е пропорциональна (n + 1), где n - число бозонов, уже находящихся в данном состоянии. Таким образом, частота перехода бозонов в результате некоторого взаимодействия в состояние с энергией Е будет пропорциональна 1 + f(E). Для фермионов ситуация противоположная: вследствие их подчинения принципу запрета Паули, фермион не может перейти в квантовое состояние с данной энергией, если там уже находится другой фермион. В этом случае, поскольку максимальное значение fФ-Д = 1 и, следовательно, ее можно трактовать как вероятность заполнения данного квантового состояния, частота перехода фермионов в состояние с энергией Е будет пропорциональна 1 – f(E), т.е. вероятности того, что данное состояние свободно.
Рассмотрим столкновение двух тождественных частиц с импульсами , до и , после столкновения. Каждому из модулей соответствуют значения энергии E1, E2, E3, E4, но при этом следует иметь в виду, что мы рассматриваем переход из одного квантового со стояния в другое, причем, эти состояния определены именно вектором импульса, тогда как данному значению Е соответствует множество ячеек в импульсном фазовом пространстве. Таким образом, рассматривая процессы перехода E1 E3, E2 E4, (или E1 E4, E2 E3, т.к. частицы тождественны), мы будем подразумевать переход из некоторой ячейки с энергией Е1 в некоторую ячейку с энергией Е3. То же справедливо и для перехода E2 E4. Столкновения приведенного типа назовем прямыми, а E3 E1, E4 E2, отличающиеся перестановкой начального и конечного состояний, обратными.
Приведенный ниже вывод функции распределения относится к вырожденному идеальному газу тождественных частиц (как фермионов, так и бозонов), так как в случае его невырожденности распределение задается функцией Максвелла-Больцмана.
Если в исходных состояниях находится среднее число частиц и , то число столкновений в единицу времени, не зависящих от конечных состояний, пропорционально их произведению. Число столкновений с переходом в состояния с E3, E4 будет в случае квантовых частиц зависеть от заполнения этих конечных состояний.
Если в исходных состояниях находится среднее число частиц и , то число столкновений в единицу времени, не зависящих от конечных состояний, пропорционально их произведению. Число столкновений с переходом в состояния с E3, E4 будет в случае квантовых частиц зависеть от заполнения этих конечных состояний.
Для фермионов, как уже говорилось, число таких переходов должно быть пропорционально вероятности того, что данные состояния свободны, т.е. произведению . Таким образом, для ферми-частиц число прямых переходов равно
(3.11)
а
(3.12)
Постоянная С в обоих случаях одинакова вследствие неразличимости микрочастиц.
Для бозонов число столкновений также пропорционально числу частиц в исходных состояниях, но вероятность перехода в конечные состояния, как упоминалось выше, пропорциональна заполнению этих состояний, а именно, значению . В этом случае число прямых и обратных переходов задается соответственно выражениями:
(3.13)
(3.14)
Поскольку мы рассматриваем состояние термодинамического равновесия, то число прямых и обратных переходов равно. Для вывода функции объединим оба типа частиц, помня, что знак минус в квадратных скобках относится к фермионам, а плюс - к бозонам:
(3.15)
Разделив это выражение на , используя закон сохранения энергии и подставив E4 = E1 + E2 – E3, прологарифмируем его:
(3.16)
Учитывая, что энергии E2 и E3 для невзаимодействующих частиц не зависят от Е1, продифференцируем это выражение по Е1, обозначив выражения в квадратных скобках соответственно через (E1), (E2), (E3), (E1 + E2 + E3):
(3.17)
Дифференцируя аналогичным образом по Е2, получаем:
(3.18)
Сравнивая полученные выражения, приходим к равенству:
(3.19)
Поскольку каждая часть данного уравнения зависит только от одного значения энергии, то обе они равны некоторой постоянной величине, а при любом значении энергии Е:
(3.20)
Интегрируя это выражение, получаем:
(3.21)
Очевидно, что при выполнении условия малой заселенности состояний, т.е. при << 1 выполняется условие невырожденности газа (среднее число частиц много меньше числа состояний). В этом случае квантовая функция распределения должна переходить в классическую функцию Максвелла-Больцмана и, пренебрегая единицей в полученном выражении и сравнивая его с fМ-Б, получаем из следующее: , =1/kT.
Таким образом, имеем для функций распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, соответственно, следующие выражения:
(3.22)
(3.23)
Как и следовало ожидать, микрочастицы, распределенные по закону Ферми-Дирака, подчиняются принципу Паули, так как fФ-Д 1.
На рис. 3.5 представлены распределения частиц по энергиям для бозонов (Б-Э), фермионов (Ф-Д), а также классическая функция Максвелла-Больцмана (М-Б). Как следует из рисунка, при значениях (E - ) > 3 kT, когда единицей в квантовых распределениях можно пренебречь, они переходят в классическое, что соответствует малому заполнению квантовых состояний, при котором коллективы микрочастиц становятся невырожденными.
Рис. 3.5. Вид различных функций распределения частиц по энергиям
При низких температурах согласно функции распределения Б-Э на низшем энергетическом уровне (E 0) может располагаться очень большое число бозонов. Действительно, как показывает строгая теория, часть газа бозе-частиц при температурах, близких к абсолютному нулю, будет скапливаться на нижнем энергетическом уровне, что получило название "бозе-конденсация" которая, в частности, отвечает за явление сверхтекучести гелия.