1.1.3. Кристаллические решетки. Операции симметрии.

В зависимости от структурных особенностей твердых тел различают:

аморфные вещества, не имеющие какой-либо определенной структуры;

поликристаллические вещества, состоящие из отдельных зерен или малых областей. Каждое зерно имеет четко выраженную структуру, однако размеры и ориентация зерен в соседних областях совершенно произвольны;

монокристаллические вещества, атомы которых пространственно упорядочены и образуют трехмерную периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой.

Кристаллическая решётка – это пространственная сетка, в узлах которой расположены частицы (атомы, молекулы) вещества.

Наименьший многогранник, который можно выделить в кристаллической решетке и при перемещении которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям можно получить эту решетку называют элементарной ячейкой.

В полупроводниках элементарная ячейка состоит всего лишь из нескольких атомов. Пространственно она очень мала и может быть размещена внутри куба со стороной около 0,5 нм. Следует отличать элементарную ячейку и примитивную ячейку (последняя, по определению, является областью минимального объема кристалла и содержит один узел решетки).

Кристаллическая решётка может быть охарактеризована (описана) набором величин, которые называются постоянными (параметрами) решётки:

a, b, c – длины рёбер элементарной ячейки;

- углы между рёбрами.

Направления, определяемые ребрами элементарной ячейки, называются кристаллографическими осями. В общем случае элементарную ячейку представляющую собой косоугольный параллелепипед, можно задать с помощью трех векторов, которые не обязательно ортогональны друг к другу и не обязательно имеют одинаковую длину.

Операцию перемещения элементарной ячейки как целого параллельно самой себе, описываемую вектором R равным

R = n₁ a +n₂ b + n₃ c, (1.1)

где n₁, n₂, n₃ - произвольные целые числа, будем называть трансляцией. Вектор трансляции R кристаллической решетки связывает любые две точки решетки, называемые узлами. Вектора a, b, c - определяющие элементарную решетку называют примитивными векторами трансляции. Любую точку кристаллической решётки (узел) можно определить вектором трансляции (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пример определения вектора трансляции r₃₂ плоской кристаллической решетки с примитивными векторами трансляции a₁ и a₂.

Кристаллическое строение приводит к симметрии внешних форм кристалла, а следовательно – симметрии внутренних свойств материала.

Симметрия может быть описана следующими операциями:

1. Центр симметрии (центр инверсии): точка, пересечение линий, соединяющих части фигуры, противоположные, равные и параллельные, но противоположно направленные!

2. Ось симметрии n-ого порядка – ось, при повороте вокруг которой на угол 360/n кристалл полностью совместиться.

3. Плоскость симметрии – делит кристалл на 2 части, являющимися зеркальным отражением.

Сингония – совокупность элементов симметрии одной категории с одинаковым числом осей одного порядка. Все кристаллы, существующие в природе, можно отнести только к 7 сингониям и 14 решёткам Браве (таблица 1.1).

Наиболее высокой симметрией обладают решетки КУБИЧЕСКОЙ сингонии. Чем выше симметрия – тем более изотропен материал.

Таблица1.1. Семь сингоний и четырнадцать решеток Браве в кристаллографии

Сингония	Длина осей и углы	Решетка Браве
Кубическая (рис.1.3)	a = b = c,  =  =  = 90^O	Простая-(a) Объемно-центрированная-(b) Гране-центрированная-(c)
Тетрагональная	a = b  c,  =  =  = 90^О	Простая Объемно-центрированная
Орторомбическая	a  b  c,  =  =  = 90^О	Простая Объемно-центрированная Гране-центрированная Базо-центрированная
Ромбоэдрическая (тригональная)	a = b = c,  =  =   90^О	Простая
Гексагональная	a = b  c,  =  = 90^О,  = 120^О	Простая
Моноклинная	a  b  c,  =  = 90^О  	Простая Базо-центрированная
Триклинная	a  b  c,       90^О	Простая

Рис. 1.3. Изображение кристаллических решеток Браве решеток кубической сингонии: (а) – простая кубическая; (b) – объемно-центрированная

кубическая (ОЦК); (с) – гране-центрированная кубическая (ГЦК).

Среди всевозможных видов решеток можно выделить кубическую решетку, имеющую несколько разновидностей.

Простая кубическая решетка. В каждой вершине такой решетки располагается один атом, принадлежащий одновременно восьми соседним элементарным ячейкам (рис 1.3, а). В такой форме кристаллизуется лишь полоний (Ро).

Кубическая объемно-центрированная (ОЦК) решетка. Здесь, помимо атомов в вершинах кубов имеется еще один атом в центре (рис. 1.3, б). К данному типу относятся кристаллические решетки молибдена и вольфрама.

Кубическая гранецентрированная решетка (ГЦК). Имеет шесть атомов в центрах граней и, кроме того, восемь атомов в вершинах куба (рис. 1.3, в). В такой форме кристаллизуется алюминий и ряд других химических элементов.

Решетку типа алмаза можно представить как две вложенные друг в друга ГЦК решетки, смещенные на расстояние четверти диагонали куба (рис. 1.4 а). В данной форме кристаллизуются углерод (алмаз), Si, Ge и (серое олово).

Решетка типа сфалерита (или цинковой обманки- ZnS) получается из решетки типа алмаза в том случае, когда атомы одного сорта (например, Ga) совпадают-с узлами одной гранецентрированной решетки, а атомы другого сорта (например, Аs) —с узлами другой (на рис. 1.4, b атомы Gа обозначены светлыми (желтыми) кружками, а атомы Аs—темными (красными)).

(a)	(b)
Рис. 1.4. Изображение кристаллических решеток типа алмаза (а) или типа сфалерита (b). На рисунках большой куб – элементарная ячейка, маленький – примитивная.

Не все атомы элементарной ячейки принадлежат только ей. Например, в объемноцентрированной решетке атомы, находящиеся в вершинах, принадлежат и соседним элементарным ячейкам, то есть на долю каждой элементарной ячейки приходится 1/8. Каждой элементарной ячейке, таким образом принадлежит всего два атома: 1+(1/8)*8. В гранецентрированной решетке элементарной ячейке принадлежат четыре атома: (1/8)*8 + (6*1/2).

В зависимости от типа решетки различно не только число частиц в элементарной ячейке, но и расстояние между ними, а, значит и плотность упаковки частиц. Число ближайших к рассматриваемому атому соседних атомов называют координационным числом. Чем оно больше, тем плотнее упакованы частицы в кристалле.

Элементарную ячейку можно задавать множеством способов. Один из наиболее распространенных – построение ячейки Вигнера –Зейтца. Для этого необходимо:

• провести линию, соединяющую данную точку со всеми соседними точками;

• через середины этих линий перпендикулярно к ним провести новые линии или плоскости.

Полученная таким образом ячейка наименьшего объема есть примитивная решетка Вигнера-Зейтца.

Классические полупроводники – германий и кремний- имеют кристаллическую решетку типа алмаза. Координационное число здесь равно 4.

Полиморфизм: явление, когда вещество одного и того же химического состава существует в различных кристаллических модификациях (аллотропных состояниях). Примеры: 1) Углерод (графит, алмаз, фуллерен и т. д.); 2) Олово ( C и ниже – куб. ,серое).