- •Решение задач по теме «интегральное исчисление функций одной переменной»
- •Предисловие
- •Глава 1 неопределенные интегралы
- •§ 1. Непосредственное интегрирование
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Интегрирование по частям
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Интегралы и
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 5. Интегрирование рациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 6. Интегрирование иррациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 8. Гиперболические функции. Тригонометрические и гиперболические подстановки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы из примеров 3.18 и 3.23.
3.18. 3.19.
3.20. 3.21.
3.22. 3.23.
§ 4. Интегралы и
Рассмотрим вначале интеграл Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби:
Обозначим через D дискриминант квадратного трехчлена,
Если D < 0, то
.
Сделаем замену переменной . Тогда
Если D > 0, то
,
и тогда
Рассмотрим теперь интеграл
Если сделать замену то мы видим, что при A = 2a, B = b мы имели бы
Если это не так, то мы сведем вычисление интеграла I к вычислению такого интеграла и интеграла , рассмотренного выше. Подберем числа M и N так, чтобы для всех x выполнялось Ax + B = M(2ax + b) + N. Легко видеть, что Таким образом,
Первый интеграл в правой части равен ln а второй – это интеграл .
Рассмотрим интеграл
Выделим под корнем полный квадрат и перепишем интеграл в виде
Пусть a > 0. Сделаем замену переменной тогда получим
Если a < 0, то –a > 0 и мы получаем
,
Если D < 0, то под корнем – отрицательная величина. Следовательно, при a < 0 необходимо выполняется . Полагая (k > 0), получаем
Для интеграла
подбираем, как мы это делали ранее, числа M и N таким образом, чтобы выполнялось Ax + B = M(2ax + b) + N. Тогда интеграл I запишется в виде
.
Первый интеграл берется заменой
Второй интеграл – это интеграл , рассмотренный выше.
Замечание. В интеграле
можно сразу выделить полный квадрат и сделать замену переменной и получить
.
Первый интеграл равен Второй зависит от знака D. Если D < 0, то, полагая (k > 0), имеем
Если D > 0, то полагая ( > 0), получим
Аналогично можно рассмотреть интеграл
Рассмотрим примеры.
Решение. Так как d(2x2 – 3x + 3) = (4x – 3)dx, то подберем числа M и N из условия x + 2 = M(4x – 3) + N. Тогда M = 1/4, 2 + 3/4 = N = 11/4. Отсюда следует
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем замену переменных:
Решение. Если положить 5 + x – x2 = t то dt = (–2x + 1)dx. Найдем числа M и N из равенства x = M(–2x + 1) + N. Получаем M = –1/2, N = 1/2. Тогда
Решение. Выделим под корнем полный квадрат и сделаем замену переменной:
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы из примеров 4.5 – 4.10.
4.6.
4.7. 4.8.
4.9. 4.10.
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией называется функция вида где P(x) и Q(x) – многочлены. Если степень многочлена P меньше степени Q, то функция называется правильной рациональной дробью. Интегрирование рациональной функции производится по следующей схеме.
1. если степень P больше или равна степени Q, то надо выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде
,
где L и R – многочлены, причем степень R строго меньше степени Q. Это можно сделать, поделив P на Q «столбиком», как делят числа.
2. разложить знаменатель Q на простейшие действительные множители
Q(x) = ,
причем участвующие в разложении двучлены и трехчлены различны и трехчлены не имеют действительных корней.
3. Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простых дробей
,
где – некоторые действительные постоянные, подлежащие определению. Для их нахождения дроби в правой части равенства приводят к общему знаменателю и затем приравнивают R(x) к числителю получившейся дроби. Известно, что если два многочлена равны, то коэффициенты при одинаковых степенях переменной также равны. Приравняв коэффициенты, получаем систему линейных уравнений, в которой уравнений столько же, сколько и неизвестных. Решая систему (например, методом Гаусса), находим неизвестные коэффициенты. Можно находить коэффициенты, придавая переменной x конкретные значения, получая тем самым уравнения для коэффициентов. Часто, придавая переменной специально подобранные значения, сразу получаем некоторые коэффициенты. Иногда это позволяет найти все коэффициенты, иногда – часть их. Можно подстановкой найти часть коэффициентов, а для оставшихся получится система уравнений с меньшим числом уравнений.
4. После нахождения коэффициентов для интегрирования дроби остается найти интегралы от дробей следующего вида:
Первые две дроби дают табличные интегралы. Интегрирование третьей дроби разобрано в предыдущем параграфе. Интегрирование четвертой дроби после замены переменной сводится к вычислению уже разобранных интегралов. Действительно,
Первый интеграл разобран в примере 2.6, второй – в примере 3.12.
Замечание. При разложении правильной рациональной дроби на простейшие часто встречаются следующие разложения:
Рассмотрим примеры.
Решение. Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, вначале поделим числитель на знаменатель «столбиком»:
_
_
Таким образом,
Учитывая, что правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
Приведя дроби в правой части к общему знаменателю и приравняв затем числители, получаем
Полагаем x = 0. Тогда 3 = –6A, A = –1/2. Положим далее x = 3. Тогда 63 + 24 + 3 = 90 = 15B, B = 6. Полагая, наконец, x = – 2, находим 15 = 10 С, С = 3/2. Таким образом,
Решение. В этом примере степень числителя меньше степени знаменателя. Поэтому сразу записываем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и затем приравниваем числители дробей:
Полагаем x = –3. Тогда получается C = 13. Полагаем далее x = –2 и находим A = 7. Чтобы найти недостающий коэффициент B, можно положить x = 0. Тогда 1 = 3A + 6B + 4C и, следовательно, 6B = –72, B = –12. Можно было бы для нахождения B приравнять коэффициенты многочленов при старшей степени x – при x2: 1 = B + C, откуда B = 1 – C = = –12. Таким образом,
Решение. Представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и приравниваем после этого числители получившихся дробей:
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получаем систему уравнений
х : 1 = ,
1 : –1= .
Решая эту систему, например, методом Гаусса, находим коэффициенты A = –2, B = 1, C = –1, D = 1.
Вычисляем интеграл
Решение. Представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
Приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая затем числители, получаем
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменной, получаем систему уравнений
,
.
Решая систему, находим
.
Вычисляем интеграл
Используя результаты вычислений в примерах 2.6 и 3.12, заканчиваем вычисление интеграла