Задачи для самостоятельного решения
Вычислить следующие интегралы.
7.19.
7.20.
7.21.
.
(подстановка
cos
x
= t).
(подстановка
sin
x
= t).
(подстановка
tg
x
= t).
(подстановка
ctg
x
= t).
(подстановка
ctg
x
= t).
(n
= 3 – нечетное, подстановка sin
x
= t).
(m
= 3 – нечетное, подстановка cos
x
= t).
(m
+ n
= –4 – четное, подстановка tg
x
= t).
7.32.
§ 8. Гиперболические функции. Тригонометрические и гиперболические подстановки
Гиперболическим синусом называется функция
гиперболическим косинусом – функция
Функции
и
называются гиперболическими тангенсом и котангенсом соответственно. Несложно проверяется, что
Приведем формулы для гиперболических функций, используемые при вычислении интегралов. Обращаем внимание на схожесть с формулами для тригонометрических функций:
Несложно
проверяется, что если sh
x
= t,
то
если ch
x
= t,
то
если th
x
= t,
то
Интегрирование
гиперболических функций очень схоже с
интегрированием тригонометрических
функций. Например, интеграл
,
где R
– рациональная функция двух переменных,
рационализируется подстановкой
При этом
и мы получаем
Другие аналогии с интегрированием тригонометрических выражений мы предоставляем отыскать читателю.
Рассмотрим примеры.
Решение. Сделаем «универсальную» подстановку
Получим
Решение. По одной из формул для гиперболических функций получаем
Решение. Используя формулы для гиперболических функций, вычисляем
Решение.
Делаем подстановку
Тогда
Решение. Используя формулы для гиперболических функций, получаем
Тригонометрические или гиперболические подстановки очень удобны при вычислении интегралов вида
,
где
–
рациональная функция двух переменных.
К интегралам
сводятся
интегралы вида
если выделить под корнем полный квадрат
и сделать затем замену переменной.
Интегралы
можно свести к интегралам от выражений,
рациональных относительно синуса и
косинуса (обычных или гиперболических),
с помощью следующих подстановок:
а)
если положить
или
,
то получим
или
что рационализирует интеграл
;
б)
подстановка
или
рационализирует интеграл
,
так как в
результате подстановки получаем
или
в)
подстановка
или
рационализирует интеграл
,
так как в
этом случае
или
Рассмотрим примеры.
Решение. Сделаем подстановку , dx = a ch t dt. Тогда
Решение. Сделаем подстановку x = 2ch t, dx = 2sh t dt. Тогда
Решение.
Делаем подстановку
Тогда с учетом формул для тригонометрических
функций, получаем
Решение. Выделим под корнем полный квадрат и сделаем замену переменной
