Задачи для самостоятельного решения
Вычислить следующие интегралы.
6.13.
6.14.
6.15.
(подстановка
.
(подстановка
.
(подстановка
).
6.19.
6.21.
6.23.
6.25.
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
В
§ 1 мы рассмотрели интегралы
В этом параграфе мы рассмотрим еще
несколько видов интегралов от
тригонометрических функций.
Пусть
–
рациональная функция двух переменных.
Интегралы вида
преобразуются
в интегралы от рациональной функции
подстановкой
.
Эту подстановку часто называют
универсальной. При этой подстановке
и мы получаем интеграл
Универсальная
подстановка всегда приводит интеграл
от
к интегралу от рациональной функции
одной переменной, но часто ведет к
громоздким выкладкам. Иногда рационализация
интеграла
достигается быстрее и проще с помощью
других подстановок или с помощью
подходящих преобразований подынтегральной
функции. Отметим некоторые такие случаи.
Если выполняется равенство
то лучше применить подстановку cos x = t.
Если выполняется равенство
то можно применить подстановку sin x = t.
Если выполняется равенство
то выгоднее применить подстановку tg x = t или ctg x = t.
Рассмотрим интеграл
Преобразуем его, представив числитель подынтегральной дроби в виде
A cos x + B sin x + C = Mu + Nu + K,
где u = a cos x+b sin x + c – знаменатель дроби. Коэффициенты M, N, K находятся из системы уравнений
A = Ma + Nb,
B = Mb – Na,
C = Mc + K.
Тогда интеграл преобразуется к виду
Последний интеграл в правой части вычисляется с помощью универсальной подстановки.
Особенно простой вид после преобразования интеграл принимает тогда, когда C = c = 0. В этом случае
Рассмотрим интегралы вида
где
m
и n
– рациональные числа. При целых m
и n
эти интегралы являются частными случаями
интеграла вида
Подстановкой sin
x
= t
интегралы приводятся к интегралу от
дифференциального бинома
и, следовательно, интегрируются в элементарных функциях только в трех случаях:
а)
n
– нечетное
.
Применяется подстановка sin
x
= t;
б)
m
– нечетное
.
Применяется подстановка cos
x
= t;
в)
m
+ n
– четное
.
Применяется подстановка tg
x
= t
(или ctg
x
= t).
В частности, такая подстановка удобна
для интегралов
или
Если m и n – неотрицательные целые числа, то удобнее понижать степень с помощью формул
При больших степенях m и n удобнее использовать рекуррентные формулы.
Рассмотрим примеры.
Решение.
Сделаем универсальную подстановку
Тогда
Решение.
Сделаем универсальную подстановку
Тогда
Решение. Представим числитель в следующем виде:
Коэффициенты M и N найдем из системы уравнений
1 = 2M + 3N,
–1 = 3M – 2N.
Получаем M = –1/13, N = 5/13. Тогда
Решение. Представим числитель в следующем виде:
sin
x = M(cos
x + sin x
+
)
+ N(–sin
x + cos x)
+ K.
Приравнивая коэффициенты при cos x, sin x и свободные члены, получаем систему уравнений
0 = M + N,
1 = M – N,
0 = M + K.
Решая систему, находим M = 1/2, N = –1/2, K = – /2. Тогда
В последнем интеграле справа сделаем универсальную подстановку Получаем
7.5.
Решение. Представим числитель дроби в виде
2 cos x + sin x – 3 = M(2 cos x – sin x – 3) + N(–2 sin x – cos x) + K.
Приравнивая коэффициенты при cos x, sin x и свободные члены, получаем систему уравнений
2 = 2M – N,
1 = –M – 2N,
–3 = –3M + K.
Решая систему, находим M = 3/5, N = –4/5, K = –6/5. Таким образом,
Обозначим
последний интеграл через J
и вычислим его с помощью универсальной
подстановки
.
Получим
Тогда
Решение.
Сделав универсальную подстановку
,
мы получаем
Мы получили интеграл от рациональной функции, но взять его не можем, так как не можем найти корни знаменателя. В то же время интеграл несложно берется другим способом. Поскольку
(sin x + cos x)dx = d(sin x – cos x) и (sin x – cos x)2 = 1 – sin 2x,
то это наталкивает нас на мысль записать интеграл в следующем виде:
Сделав замену переменной sin x – cos x = t, получаем
Решение. Так как в этом примере
то сделаем подстановку cos x = t, sin x dx = –dt. Тогда
Сделаем для сравнения в интеграле I универсальную подстановку . Тогда
Этот и предыдущий примеры показывают, что каждый интеграл требует индивидуального подхода. Общие методы, безусловно, надо знать, но часто специальный прием для конкретного интеграла оказывается существенно эффективней общего метода. Выбор рационального способа решения конкретного интеграла прямо зависит от навыков решающего. Выработать такие навыки можно, только прорешав довольно много примеров.
Решение. Применяя формулу понижения степени, вычисляем интеграл
Решение. Вычисляем интеграл с помощью формул понижения степени.
Решение. Поскольку подынтегральная функция нечетна относительно cos x, то применяем подстановку sin x = t, cos x dx = dt. Тогда
Решение.
Делаем подстановку tg
x
= t,
dx
=
.
Получаем
Решение. Так как подынтегральная функция четна относительно cos x и sin x, то здесь уместна подстановка tg x = t. При этом удобнее вначале немного преобразовать подынтегральное выражение
Решение. Расписывая cos 2x = cos2 x – sin2 x. Замечаем, что подынтегральная функция нечетна относительно sin x. Делаем подстановку cos x = t, sin x dx = – dt и вычисляем интеграл
Решение. Так как
удовлетворяет
условию
,
то применим подстановку ctg
x = t,
Тогда
Решение.
Используя формулу
,
преобразуем подынтегральную функцию,
а затем сделаем подстановку tg
x
= t:
Решение. Так как здесь m = 5 – нечетное (n = 1/3), то делаем подстановку cos x = t, sin x dx = –dt. Получаем
Решение. Раскладывая sin 2x на множители, имеем
Так
как у нас m
= –5/2, n
= –3/2, а следовательно, m
+ n
= – 4 – четное число, то делаем подстановку
tg
x
= t,
dt
=
Тогда
