Анализатор сигналов

Возможны многоканальный и одноканальный варианты аппаратурного построения анализатора. В первом случае анализируемый сигнал одновременно (параллельно) подается в каналов (по числу базисных функций): перемножителей, интеграторов и измерителей (рис. 2.2). Во втором случае анализируемый сигнал поочередно перемножается с соответствующей базисной функцией и произведение интегрируется.

Рис. 2.2

На основе ряда (2.3) возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе ряда:

. (2.5)

Синтезатор сигналов

Основу синтезатора (рис. 2.3) составляют генератор базисных функций, сумматор и перемножители. При этом приходится использовать лишь конечное число перемножителей, т. е. всегда приходится

Рис. 2.3

иметь дело с синтезом (аппроксимацией) сигнала конечным числом членов ряда (2.5). Следовательно, возникает ошибка синтеза, т. е. несовпадение и .

При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе базисных функций и числе слагаемых он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибки , под которой понимается величина

= = . (2.6)

Ортогональная система называется полной, если увеличением можно сделать сколь угодно малой. Ряд (2.3) называется в этом случае сходящимся в среднем.

Относительная ошибка синтеза определяется по формуле

, (2.7)

где – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала.

Можно записать:

, (2.8)

а при использовании ортонормированной системы функций

.

Очевидно, что средняя за период мощность сигнала

. (2.9)

Выражение вида (2.8) или (2.9) называется равенством Парсеваля.

Выбор рациональной системы ортогональных функций

Он зависит от поставленной задачи. Так, при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила система гармонических функций. Во-первых, гармонические колебания в отличие от других сохраняют свою форму при прохождении через эти цепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод.

Для представления ступенчатых сигналов используются кусочно-постоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера.

Из множества других задач наиболее важной является задача приближенного разложения сложных сигналов, при которой требуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда. Для разложения непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Системы этих функций рассмотрены в [1].

В последние годы широко применяют базисные функции типа вейвлетов, которым специально посвящена глава 16 в книге [3].

Функции Уолша (фу)

Способ аналитического задания и нумерации (упорядочения) ФУ может быть различным [1]. Их можно сформировать, например, с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара порядка называется квадратная матрица размера с элементами такая, что

, ,…, .

ФУ, упорядоченные по Адамару ( с номером ), являются последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам -й строки матрицы. Под длительностью подразумевается ( )-я доля интервала ортогональности [0, T] или при введении безразмерного времени безразмерного интервала [0, 1].

Упорядочение по Уолшу характерно тем, что номер функции равен числу перемен знака на интервале ее существования (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Основные свойства функций Уолша:

• ФУ ортонормированы

(2.10)

где

= 1 (2.11)

– квадрат нормы, или энергия базисной функции .

• Перемножение двух ФУ дает также ФУ (свойство мультипликативности)

= ,

где , символ поразрядного суммирования по модулю два: ; .

• Умножение ФУ самой на себя дает (как следует из предыдущего) ФУ с нулевым номером .

• Умножение ФУ на не изменяет исходную функцию.

• Площадь ФУ на интервале ортогональности

• Четным относительно середины интервала ( ) функциям соответствуют четные значения и наоборот.

Спектральный анализ сигнала. Суть его состоит в определении коэффициентов (аналитически или экспериментально):

. (2.12)

Синтез сигнала. При фиксированном числе обобщенный ряд Фурье запишется в виде

= . (2.13)

При этом относительная ошибка синтеза определяется по формуле

, (2.14)

где

и (2.15)

– мощности синтезированного (аппроксимированного) и исходного сигналов.

Пример анализа и синтеза гармонического колебания приведен в прил. 2.