Контрольные вопросы

1. Условие ортогональности сигналов (функций).

2. От чего зависит выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций?

3. При какой постановке задачи разложения сигнала целесообразно использование ФУ? В чем заключено удобство разложения сигналов по ФУ?

4. Перечислите основные свойства ФУ.

5. Чему равен квадрат нормы ФУ?

6. Чему равна площадь любой ФУ на интервале ортогональности?

7. С каким номером будет ФУ при умножении любой ФУ самой на себя?

8. Перемножение двух ФУ дает также ФУ . Определите номер m, если: а) , , б) , .

9. Поясните, как определяется номер ФУ, образованной перемножением двух ФУ с известными номерами.

10. Каковы различные способы нумерации (упорядочения) ФУ? Достоинства и недостатки упорядочений по Адамару и Уолшу.

11. С помощью матриц Адамара проиллюстрируйте нумерацию ФУ по Адамару и Уолшу для = 4 и = 8.

12. Почему в спектре синусоиды в базисе ФУ спектральные коэффициенты при четных ФУ равны нулю?

13. В чем различие спектров синусоиды и косинусоиды в базисе ФУ? Особенность спектра Уолша при сдвиге гармонического колебания по фазе.

14. Почему в спектре Уолша треугольного сигнала ( ) равны нулю все коэффициенты при четных ?

15. Почему в спектре пилы ( ) равны нулю все коэффициенты при четных ?

16. От чего зависит структура спектра Уолша периодической последовательности прямоугольных импульсов?

17. Как изменится структура спектра Уолша при сдвиге сигналов (см. табл. 2.1) по оси ординат на вверх (вниз)?

18. Как влияет сдвиг анализируемого колебания по оси времени на структуру спектра Уолша (и Фурье)?

19. Как влияет на коэффициент сдвиг анализируемого сигнала по оси ординат и по оси времени?

20. Исходя из свойств четности сигнала и ФУ определите, какие из 16 спектральных коэффициентов будут равны нулю для треугольного сигнала .

Лабораторная работа № 3 представление периодических сигналов в базисе гармонических функций

3.1. Цель работы

Изучение спектрального состава и синтез периодических сигналов в базисе гармонических функций.

3.2. Краткие теоретические сведения

Представление периодического сигнала или сигнала с ограниченной областью определения ( ) обобщенным рядом Фурье (2.3) в базисе основных тригонометрических функций ( ; ) называется гармоническим. Такое представление возможно, если сигнал обладает ограниченной мощностью, или и имеет вид

(3.1)

где ;

; ;

; (3.2)

; ; .

С

Рис. 3.1

овокупность коэффициентов и образуeт дискретный спектр периодического колебания. Изображения коэффициентов в координатах амплитуда–частота и фаза–частота называются соответственно амплитудной и фазовой спектральными диаграммами или амплитудным и фазовым спектром (рис. 3.1).

Физический смысл представления (3.1) заключается в том, что рассматриваемый сигнал на заданном участке T можно представить в виде суммы постоянной составляющей и элементарных гармонических колебаний (гармоник) с частотами , начальными фазами и амплитудами .

Спектральный анализ сигнала – это определение совокупности коэффициентов и .

Пример. Спектр периодической последовательности прямоугольных однополярных импульсов (рис. 3.2).

, внутри периода повторения.

Рис. 3.2

Заданный сигнал является четной функцией времени, а потому все коэффициенты . Тогда коэффициенты и будут равны. Вычислим эти коэффициенты.

, (3.3)

где – скважность импульсов;

=

= , (3.4)

где .

Таким образом, коэффициенты все вещественные. Они могут иметь как положительные значения – тогда , так и отрицательные значения – тогда . Следовательно, для фазового спектра получаем:

(3.5)

Спектральные диаграммы амплитуд и начальных фаз приведены на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Анализ результата.

1. Спектр периодической последовательности дискретный. Расстояние между дискретами обратно пропорционально периоду повторения импульсов, т. е. .

2. Спектр теоретически бесконечен.

3. Форма амплитудного спектра, т. е. его огибающая (штриховая линия на рис. 3.3), определяется функцией

(3.6)

и имеет лепестковый характер. Ширина лепестка находится из условия равенства синуса нулю, что соответствует аргументу синуса , и т. д. Следовательно, ширина каждого лепестка равна

. (3.7)

Чем короче импульс, тем больше ширина лепестка спектра сигнала. Известно [1 – 3], что в первом лепестке сосредоточено 90.5 % всей мощности сигнала.

Следует отметить, что и для других импульсных сигналов, но с явно выраженными началом и концом амплитудный спектр также имеет лепестковый характер, при этом , где в зависимости от формы сигнала.

4. Количество гармоник, входящих в один лепесток:

, (3.8)

т. е. равно скважности импульсов. При целочисленном значении скважности в амплитудном спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники с номерами , и т. д.

5. Амплитуда гармоник пропорциональна амплитуде и длительности импульса, но обратно пропорциональна периоду повторения импульсов.

Синтез сигналов. В основу задачи синтеза сигналов положено соотношение (2.5). При синтезе сигналов заданы последовательности { } и { }, а требуется определить S(t). При этом приходится использовать лишь конечное число слагаемых, т. е. всегда имеем дело с аппроксимацией сигнала конечным числом членов ряда:

, T/2 < t < T/2. (3.9)

Относительная ошибка синтеза определяется по формуле

, (3.10)

где

и (3.11)

– мощности синтезированного (аппроксимированного) и исходного сигналов.

Необходимо отметить, что если производится синтез сигнала, имеющего разрывы первого рода, например, импульс прямоугольной формы (рис. 3.2), то при сложении гармонических составляющих будут наблюдаться колебания вблизи фронтов импульса.

Пример. Синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов. По найденным в предыдущем примере спектральным коэффициентам можно записать выражение для сигнала в виде

. (3.12)

В частном случае для меандра – периодической последовательности прямоугольных импульсов со скважностью два (когда ) имеем

.

(3.13)

На рис. 3.4 приведены временные диаграммы синтезированных сигналов для различного числа суммируемых гармоник: а) постоянная составляющая, первая и третья гармоники; б) плюс еще 5-я и 7-я гармоники; в) плюс еще 9-я и 11-я гармоники; г) плюс еще 13-я и 15-я гармоники.

а	б
в	г

Рис. 3.4

С увеличением числа гармоник ширина выбросов на фронтах импульса будет уменьшаться, а высота выбросов при стабилизируется и в пределе становится равной 0.09 от максимального значения импульса (отклонение ) (рис. 3.5). Это явление, обусловленное неравномерной сходимостью ряда Фурье, было впервые исследовано Гиббсом

Рис. 3.5

и получило название – явление Гиббса. Тем не менее ряд сходится в среднеквадратическом смысле, т. е. среднеквадратическая ошибка (следовательно, и относительная ошибка ) представления сигнала рядом синусоид быстро стремится к нулю при увеличении числа синусоид.