3. Определение независимости двух событий. Определение независимости в совокупности.

События и называются независимыми, если .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

События называются независимыми в совокупности, если для любого и любого набора различных меж собой индексов имеет место равенство:

4. Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Пусть — полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

5. Понятие схемы Бернулли. Формула Бернулли (с док-вом).

Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача — с вероятностью .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для любого имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна .

6. Определение случайной величины. Определение функции распределения. Её свойства.

Функция называется случайной величиной, если для любого борелевского множества множество является событием, т.е. принадлежит -алгебре  .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Функцией распределения случайной величины называется функция , при каждом равная вероятности случайной величине принимать значения, меньшие  :

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1)

 она не убывает: если , то ;

2)

 cуществуют пределы и ;

3)

она в любой точке непрерывна слева:

7. Определение дискретного и абсолютно непрерывного распределений. Свойства плотности распределения. Основные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, Пуассона, геометрическое, равномерное, показательное, гамма, нормальное.

Cлучайная величина имеет дискретное распределение, если существует конечный или счётный набор чисел такой, что

Cлучайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция такая, что для любого борелевского множества имеет место равенство:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Функцию называют плотностью распределения случайной величины  .

Плотность распределения обладает свойствами:

 1)    для любого ;      2)    .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------