15. Определение сходимости по распределению (слабой сходимости).

Пусть задана последовательность случайных величин , задано некоторое распределение с функцией распределения и пусть — произвольная случайная величина, имеющая распределение .

Говорят, что последовательность случайных величин сходится слабо или по распределению к случайной величине и пишут: , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость

при .

Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

16. Центральная предельная теорема.

(ЦПТ Ляпунова). Пусть — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Тогда имеет место слабая сходимость

последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.

Доказательство центральной предельной теоремы

Пусть — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через — дисперсию . Требуется доказать, что

Доказательство. Введём стандартизованные случайные величины — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями (проверить!). Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины равна

(27)

Характеристическую функцию случайной величины можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (27) и устремим к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости