- •Определения: пространство элементарных исходов, сигма-алгебра событий, вероятностная мера. Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.
- •Классическое определение вероятности. Основные комбинаторные формулы: Cnk, Ank, nk – что они вычисляют.
- •Определение независимости двух событий. Определение независимости в совокупности.
- •Формула полной вероятности.
- •Понятие схемы Бернулли. Формула Бернулли (с док-вом).
- •Определение случайной величины. Определение функции распределения. Её свойства.
- •Вырожденное распределение
- •Распределение Бернулли
- •Показательное распределение
- •Гамма-распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).
- •Определения независимости случайных величин.
- •Определение и свойства математического ожидания.
- •Определение и свойства дисперсии.
- •Определение и свойства коэффициента корреляции.
- •Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.
- •Закон больших чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон больших чисел Бернулли.
- •Определение сходимости по распределению (слабой сходимости).
- •Центральная предельная теорема.
- •Доказательство центральной предельной теоремы
Нормальное распределение
Говорят, что имеет нормальное (гауссовское(1)) распределение с параметрами и , где , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:
Убедимся, что является плотностью распределения. Так как для всех , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):
где через обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона(2))
Нормальное распределение с параметрами и называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна .
Ввиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение для функции распределения нормального закона . Первообразная функции не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию можно записать лишь в виде интеграла:
Функция табулирована, т.е. её значения при различных вещественных вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.
Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).
Свойство 1. Для любого справедливо соотношение:
Следствие 1. Если , то .
Следствие 2. Если , то
Свойство 2. ,
Свойство 3. Если , то для любого
Свойство 4 (правило трех сигм). Если , то
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Стандартное нормальное распределение :
Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности :
Математическое ожидание равно
так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Далее,
Поэтому
Нормальное распределение :
Если , то .
,
Определения независимости случайных величин.
Определение 1. Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств , ..., имеет место равенство:
Определение 2. Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.
Определение 3. Случайные величины независимы (в совокупности), если для любых имеет место равенство:
Определение 4. Случайные величины с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел имеет место равенство:
Определение 5. Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для любых имеет место равенство:
.
Определение и свойства математического ожидания.
Определение 1. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей , где , называется число
если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.
Определение 2. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения называется число
если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если
В противном случае математическое ожидание не существует.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.
1.
Для произвольной борелевской функции
2.
Математическое ожидание постоянной равно ей самой: .
3.
Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:
4.
Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:
5.
Если п.н., т.е. если , то .
6.
Если п.н., и при этом , то п.н., т.е. .
7.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: если и независимы и их математические ожидания существуют, то