- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая и групповая скорости линейных волн
- •Решение в виде бегущих волн линейного волнового уравнения
- •Нелинейные волновые уравнения.
- •Явление опрокидывания нелинейных волн
- •Преобразование Коула –Хопфа.
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса.
- •Оценки ширины фронта ударной волны.
- •Солитонные решения волнового уравнения(общие свойства).
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •14. Решение на сепаратриссе
- •15. Уравнение нелинейного маятника при наличии возмущающей волны.
Преобразование Коула –Хопфа.
Пусть имеется уравнение Бюргерса
, - (1)
- (2), где - произвольное число.
Данная замена определяет функцию F с точностью до времени.
Определимся с постоянной .
- (3)
, т к F(x, t) определяется с точностью до функции времени, то c(t) включается в F(x, t) и правая часть равна нулю.
Т к , то можно записать:
- (4) – уравнение теплопроводности.
Н у: - (5)
- (6)
y – то же, что и x, но по источнику.
- (7)
Введем функцию - (8)
- (9)
Подставляем в (2) и получим уравнение Бюргерса
(10)
Решение (10) позволяет получить произвольные решения для уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным профилям волны.
Однако чтобы получить решение, необходимо пользоваться вычислительными методами в общем случае.
Асимптотические решения уравнения Бюргерса.
Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981).
Запишем уравнение Бюргерса : .
Проинтегрируем данное уравнение в пределах от .
(*)
I- определяет асимптотическую форму импульса (профиль решения) следующего уравнения: (**)
Рассмотрим случай для малых δ. При малых δ выход волны на стационарный режим будет происходить при достаточно больших t, это следует из структуры уравнения Бюргерса, где t входит в [δt]. При малых δ интегралы уравнений (**) можно вычислить методом наискорейшего спуска.
Данная стационарная точка удовлетворяет уравнению:
(***)- уравнение, удовлетворяющее стационарной точке, тогда
(****) - асимптотическое решение. При больших t, которые стремятся к бесконечности, отличные от нуля значения волны получаются при достаточно больших х, поэтому практически во всей области, где профиль U(x,t) принимает ненулевые значения, имеет место асимптотическая форма решения, где х и t связаны соотношением (***), т.е. , значит, мы получили в асимптотике обычную стационарную волну с линейным профилем.
Нелинейная волна с линейным профилем подвержена явлению укручения фронта волны. Вязкость (затухание волны) среды приводит к ослаблению данного эффекта. С другой стороны, если подставить (****) в инвариант (*) это означает, что решение справедливо только для некоторого значения x=x0 достаточно большого, т.е. при x>x0 >>y0, тогда U(x) 0, чтобы найти x0 воспользуемся инвариантом (*), из инварианты следует, что . При этом мы учитываем, что на нижнем пределе , при x<0. .
(‘)
Таким образом, и (‘) показывают, что асимптотический профиль определяется только значением инварианты U при J > 0 не зависит от начального профиля волны U0(x).
Полученное решение уранения Бюргерса, в которых не происходит явление опрокидывания волны, является примером образования ударной волны. В ударной волне могут существовать скачки плотности среды и скорости волны нормальной к фронту волны, что следует из полученного решения.