Характеристики нелинейного маятника.
Состояние осциллятора
будем рассматривать в виде точки на
фазовой плоскости
.
Для линейного осциллятора
скорость и положение сдвинуты на
.
Это означает, что на фазовой плоскости траектория будет в виде эллипса.
В отличии от параболического
потенциального маятника этот потенциал
ограничен величиной
.
- энергия
Рассмотрим точки равновесия:
Точки с четными n называются эллиптическими, а точки с нечетными n называются гиперболическими.
Рассмотрим движение разных осцилляторов.
а) Пусть
.
Тогда частицы захвачены в потенциальную
яму и совершают финитные движения и
траектория – эллипс.
б)
Пролетные частицы со слабой модуляцией скорости.
в)
Траектория – сепаратриса. Она проходит через гиперболические точки.
14. Решение на сепаратриссе
Найдем уравнение
движения на сепаратриссе:
(1)
Более интересную
информацию о динамики частицы можно
получить, найдя ее скорость на сепаратриссе:
.
Из (1) :
.
Зависимость скорости от времени имеет горбовидный характер—солитоно подобное решение.
Это означает, что частица имеет большую скорость только в точке t=0 и надолго задерживается в точках поворота. Характерная ширина профиля скорости по времени 1/ω0, Знак + соответствует движению солитона вправо (верхняя ветвь сепаратриссы), знак – соотв. движению влево (нижняя ветвь сепаратрисы).
15. Уравнение нелинейного маятника при наличии возмущающей волны.
Рассмотрим маятник,
на который действует некоторая возмущающая
сила, т.е. потенциал
,
тогда полная энергия системы
- потенциал.
- некоторый параметр малости,
- волновое число.
При малых амплитудах
колебания мятник можно считать линейным
.
В этом случае спектр
невозмущенного маятника состоит из
одной гармоники с частотой
.
В общем случае из-за нелинейности частота
зависит от энергии маятника, соответственно
период тоже зависит от энергии, при
стремлении, движение частицы, приближается
к сепаратрисе, частота с ростом энергии
уменьшается.
- энергия частицы или
маятника на сепаратрисе. При приближении
энергии маятника к сепаратрисе, частота
стремиться к 0. Тогда.
,
так как
.
При этом в близи
сепаратрисы число характерных гармоник
в спектре нелинейного маятника частицы
равное
,
где
- период колебания линейного маятника.
Из свойства солитонного характера скорости осциллятора на сепаратрисе следует, что скорость по времени меняется по следующему закону.
Такой характер поведения скорости обусловлен тем, что система быстро за время Т0 проходит почти всю ширину потенциальной ямы и надолго (Т >> T0) застревает вблизи седловых точек (точек пересечения сепаратрисы – точки поворота). Это дает возможность перейти от задачи дифференциального уравнения к задаче разностного уравнения.
Т.е. мы будем считать,
что на движение нелинейного осциллятора
действуют кратковременные толчки, а
между толчками происходит время (tn+1,
tn+2)
или
.
В результате этого мы можем ввести вместо потенциала набор дельт функций.