Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
Уравнение Кортевега-де-Вриза (КДВ) впервые появилось, когда изучались длинные волны на мелкой воде (каналы).
. (а)
. (б)
Слагаемые, пропорциональные , отражают нелинейность. А слагаемые, пропорциональные , связаны с дисперсией среды.
Уравнение КДВ описывает нелинейные волны в жидкостях (движение по трубам), распределение электромагнитных импульсов по нервным волокнам человека, гидродинамические волны в плазме, включая космическую плазму, и т.д.
Солитоном называют решение волнового уравнения в виде уединенной стационарной волны , которая при столкновении с другими такими же волнами асимптотически сохраняет свою форму и скорость.
Солитонные решения КДВ получили свое уравнение, исследуя распространение волн в одном направлении по поверхности мелкого канала.
- глубина канала (средняя величина);
, мало и определяет положение поверхности канала на дно (отклонение). Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение волны:
. (1)
- гравитационная постоянная.
- произвольная постоянная;
- плотность жидкости;
- поверхностное натяжение жидкости.
Сделаем замену переменных: , , (2).
. (3)
. (4)
Будем искать решение в виде стационарной волны , . (5)
- скорость бегущей волны.
Сделаем замену: , , . (6) Подставим (6) в (4):
. (4’)
. (5) .
, (6) .
. (7)
.
. (8)
. (9)
. (10)
.
(11) - эллиптический интеграл.
Т.к. уединенная волна локализована в некоторой области, то ее первая и вторая производные при будут равны нулю.
Из уравнений (7), (9) для солитонного решения.
Полином (10) сильно упрощается и интеграл можно взять. Тогда решение будет:
(12) – решение в виде солитона.
Основные свойства солитонов уравнения КДВ
Амплитуда солитонов КДВ растет с ростом скорости (линейно). А его длительность обратно пропорциональна квадратному корню из скорости.
Знак решения в виде уединенной волны зависит от знака .
Уединенные волны уравнения КДВ однонаправлены, т.к. скорость не может быть отрицательной, т.к. должно быть действительным, а при .
Более общее решение уравнения (11) содержит и периодическую стационарную волну. Для получения этого решения следует взять ненулевые значения постоянных и определенным образом подобрать положение нулей .
Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
Уравнение КДВ во всех его модификациях.
Уравнения sin – Гордон:
Решение:
- скорость
Знаки
соответствуют
повороту решения на угол
.
Такой солитон называется КИНК.
Нелинейное уравнение Шредингера
Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
Рассмотрим следующее нелинейное уравнение:
,
где
.
Решение для этого уравнения примет имеет вид:
,
где
-
некоторая постоянная фаза.
Данное решение имеет форму кинка и похоже на решение уравнения sin-Гордана, но в отличие от Кингов и sin-Гордана при столкновении кинка и антикинка эти решения также образуют Кинги, но их амплитуда модулирована. Следовательно, данное уравнение не имеет решения в виде солитонов.