2. Вычисление производной с помощью конечных разностей

В отличие от предыдущего раздела, где рассматривалась задача определения производной в точке x0, здесь решается следующая задача: по заданной таблице значений функции yi = f(xi), , требуется определить таблицу значений производных в этих же точках xi .

Пусть точки xi расположены таким образом, что x0 < x1 < … < xn, и шаг является постоянным, т.е. xi - xi-1 = h = const . Используя значения конечных разностей производные функции в точках xi можно определить как

.

Рассмотрим случай, когда используются правые конечные разности . Отсюда значения производных:

, (1)

Данная формула позволяет определить значения производных во всех точках, кроме конечной xn. Вычислить производную в этой точке можно по аналогичной формуле, в которой используются левые конечные разности . Отсюда

, (2)

Очевидно, что формула (2) позволяет определить значение производной во всех точках, кроме x0.

Рассмотрим геометрический смысл формул (1) и (2). Истинное значение производной в точке xi определяется наклоном касательной в этой точке, т.е. . Получение приближенных значений производной в точке xi с помощью правых () и левых () конечных разностей иллюстрирует рис. 1.

Нетрудно заметить, что лучшее приближение производной может быть получено как , где 0 - угол наклона прямой, проведенной через точки N1 и N2, как это показано на рис. 1. Соответствующая формула имеет вид:

== , (3)

где - центральная конечная разность.

54

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона

Пусть функция y(x) задана в равноотстоящих точках xi отрезка [a, b] с помощью значений yi = f(xi). Для нахождения значений производных y = f(x) на этом отрезке функцию y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x0, x1, …, xk (k n):

,

где ; (i = ).

Производя перемножение биномов, получим:

.

Учитывая, что , расчетная формула для определения производных будет иметь следующий вид:

. (4)

Следует отметить, что при нахождении производной в заданной точке x в качестве x0 следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента.

Иногда требуется определить производные функции y(x) в узлах таблицы, т.е. в точках xi . В этом случае формула (4) упрощается, поскольку каждое табличное значение можно считать начальным. Положим x = x0, t = 0 и тогда получим:

.

4. Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа

Предположим, что некоторая функция задана таблицей значений yi = f(xi), с постоянным шагом аргумента h = xi - xi-1 . Для того, чтобы выразить значение производной через значения функции в узлах интерполяции, запишем интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, удовлетворяющий условиям Lm(xk) = yk = f(xk), :

,

где лагранжевы коэффициенты вычисляются как

.

Дифференцируя этот многочлен, можно получить приближенные значения производных в узлах интерполирования xk .

В частности, для m = 1 получим:

;

.

численный дифференцирование производная интерполяционный

Пусть m = 2. Тогда

, (5)

, (6)

. (7)

В целом для отрезка [x0, xn] рекомендуется вычислять производные следующим образом:

а) значение y(x0) - по формуле (5), где xi = x0;

б) значения y(xi) - по формуле (6), где xi+1 ;

в) значение y(xn) - по формуле (7), где xi+2 = xn.

5. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка)

Пусть поставлена задача Коши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x0,b],

xk=x0+k*h, k=0,n; h=(b-x0)/n.

(16.1)

Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке xk+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках xk-1 , xk-2….общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все m -шаговые методы можно описать формулами:

16.2

При 0=0 мы получаем явные методы, при 0 - неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у(х0)-определяется из условия задачи Коши

у(х1),у(х2),у(х3)…у(хm-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x0,b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x0,b] в т.xk

[x0,b] xk=x0+k*h k=0,n; h=(b-x0)/n

Локальная точность

Известно, что на шаге точное значение функции в т.хк уЮ(хк) отличается от приближенного значения хк на величину.

16.4

16.5

где е заданная точность

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

16.6

В векторном виде система 16.6 записывается так:

Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

16.7

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

20. Простейшие квадратурные формулы. Квадратурные формулы интерполяционного типа.