- •2 Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
- •Для любой функции алгебры логики существует своя сднф, причем единственная.
- •[Править] Пример нахождения скнф
- •Приведем примеры замкнутых классов.
- •Способы задания графа
- •Минимальное остовное дерево
- •] Пример
- •Классическое определение вероятности
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности. Формула Бейса
- •Дискретная и непрерывная случайная величина.
- •Числовые характеристики случайной величины.
- •Математическое ожидание. Свойства.
Классическое определение вероятности
Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: . Предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость).
Если событие состоит из элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению :
где символом обозначено число элементов конечного множества .
Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события вычисляется по формуле
называемой классическим определением вероятности.
С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1. 21
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 <= Р (A) < 1.
Геометрическая вероятность — один из способов задания вероятности; пусть Ω — ограниченное множество евклидова пространства, имеющее объем λ(Ω) (соответственно длину или площадь в одномерной или двумерной ситуации), пусть ω — точка, взятая случайным образом из Ω, пусть вероятность, что точка будет взята из подмножества пропорциональна его объёму λ(x), тогда геометрическая вероятность подмножества определяется как отношение объёмов:
Геометрическое определение ве роятности часто используется в методах Монте-Карло, например, для приближённого вычисления значений многократных определённых интегралов.
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой
W (А) = m / n,
где m - число появлений события, n - общее число испытаний.
Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыт
22
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:
.
Доказательство. Очевидно:
;
Тогда
.
Поскольку события и несовместны, то по аксиоме :
.
События и несовместны, и по аксиоме :
.
События и несовместны, по аксиоме :
.
Итак,
Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:
Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых:
- формула включений и исключений.
Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.