Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.

Пусть:

·        событие появилось в исходах опыта;

·        событие появилось в исходах опыта; 23

·        событие появилось в исходах опыта.

Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов:

,

или

.

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

Пример. В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки.

Решение. Пусть событие - студент курит; - студент носит очки.

Тогда

.

Заметим, что условная и безусловная вероятности события в данной задаче различны: .

 

События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: .

 

Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:

- критерий независимости событий.

В рассмотренном примере события и - зависимы, поскольку

.

24

Полная группа событий.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

[править] Определение

Пусть есть вероятностное пространство. Любое разбиение множества Ω элементами сигма-алгебры называется полной группой событий.

[править] Пример

Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

• A: монета упадет орлом;

• B: монета упадет решкой;

• C: монета упадет на ребро;

Таким образом, система {A,B,C} является полной группой событий.

Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

пример противоположных событий

Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

ОпределениеПусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть суть два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется

.

Замечания Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна: .

• Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция , заданная формулой

, удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А₁,А₂…А_n равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А₁,А₂…А_n

Р(А)=1-q¹*q²*…*qⁿ 25