Формула полной вероятности. Формула Бейса

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

Замечание Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение

. Тогда , т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

Формула Бейса

Пусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н₁,Н₂…Н_n с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло

Последовательности испытаний. Формула Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Последовательности испытаний

Пусть проводится конечное число последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не наступить (такую ситуацию назовём неудачей), причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

·       каждое испытание случайно относительно события , т. е. до проведения испытания нельзя сказать, появится или нет;

·       испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, т. е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна и не меняется от испытания к испытанию;

·       испытания независимы, т. е. события , где состоит в успехе на -м испытании ( ), независимы в совокупности.

Такая последовательность испытаний называются схемой Бернулли или биномиальной схемой, а сами испытания - испытаниями Бернулли.

Формула Бернули

формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.

26

Если число испытаний n стремится к 0, а вероятность появления события А в каждом из опытов р стремится к 0, то для определения вероятности появления события А ровно m раз применяют формулу Пуассона a=n*p

Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раза приблизительно равно