3. Свойство числовых множеств и последовательностей.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел  , либо множество комплексных чисел  . Тогда последовательность   элементов множества X-называется числовой последовательностью.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности   верно, что  .

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

4. Евклидово пространство.

Евкли́дово простра́нство — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть   с метрикой, введённой по формуле:

,

где   и  .

5. Понятие окрестности точки.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному

В математическом анализе используется следующее видение:

Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x₀ на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x₀ не более чем на ε, т.е. O_ε(x₀) = {x: | x − x₀ | < ε}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ε-шар с центром в точке x₀.

В банаховом пространстве   окрестностью с центром в точке x₀ называют множество  .

В метрическом пространстве (M,ρ) окрестностью с центром в точке y называют множество  .

6. Функциональная зависимость.

Функциона́льная зави́симость — Математически представляет бинарное отношение между множествами атрибутов данного отношения и является, по сути, связью типа «один ко многим». Их использование обусловлено тем, что они позволяют формально и строго решить многие проблемы.

Пусть дано отношение r со схемой (заголовком) R, A и B — некоторые подмножества множества атрибутов отношения r. Множество B функционально зависит от A тогда и только тогда, когда каждое значение множества A связано в точности с одним значением множества B. Другими словами, если два кортежа совпадают по атрибутам A, то они совпадают и по атрибутам B.

В этом случае A — детерминант, B — зависимая часть.

Функциональная зависимость называется тривиальной, если зависимая часть является подмножеством детерминанта.