Параметры, характеризующие линию без потерь
1.Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность мкГн/м и емкость пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь . Частота переменного тока Гц.
Определить: волновое сопротивление , Ом, коэффициенты затухания , Нп/км, и фазы , рад/км, длину волны , км, фазовую скорость , км.
Решение
1. Определим волновое сопротивление, коэффициенты затухания и фазы:
Ом;
рад/км.
2. Вычислим длину волну и фазовую скорость:
м; км /c.
2. Волновое сопротивление воздушной линии без потерь равно 600 Ом. Определить первичные параметры линии: , Ом/км, , См/км, нФ/км, , Гн/км.
Решение
1. В воздушной линии без потерь фазовая скорость равна скорости света:
Волновое сопротивление линии без потерь .
Используя эти соотношения, получим:
и .
2. Определим и
Гн/км; нФ/км.
В линии без потерь
3.Коаксиальный кабель имеет первичные параметры мкГн/м; пФ/м. Рассматривая кабель как линию без потерь, найти его волновое сопротивление Ом, и фазовую скорость волны , км/с, в нем.
При частоте сигнала МГц определить коэффициент распространения 1/м, и фазы , рад/м
Решение
1. Определим волновое сопротивление и фазовую скорость:
Ом;
км/с.
2. Определим коэффициент распространения по формуле
где рад/c;
рад/м,
отсюда рад/м град/м.
4. Определить волновое сопротивление кабеля без потерь, если входное сопротивление отрезка кабеля в режиме холостого хода = Ом, а в режиме короткого замыкания линии Ом.
Решение
1. Входное сопротивление XX входное сопротивление КЗ
2. Отсюда получаем 60 Ом.
5. Линия без потерь, параметры которой 1,67 мкГн/м, = =6,67 пФ/м и длина l = 5 м, нагружена на активное сопротивление равное . Напряжение на нагрузке 10 В, частота Гц.
Определить напряжение , В, и ток , А, в начале линии и входное сопротивление Ом, линии.
Рассчитать и начертить графики изменения действующих значений напряжения U и тока I, резистивной и реактивной составляющих входного сопротивления нагруженной линии.
3. Определить коэффициенты бегущей и стоячей волн.
Решение
Определим волновое сопротивление и коэффициент фазы:
Ом;
рад/м.
Сопротивление нагрузки Ом.
Определим комплексные напряжение и ток в начале линии:
В;
мА.
Разделив на , получим
мА.
3. Распределение действующих значений напряжения и тока находим по выражениям, в которых =500/2000=0,2:
По этим уравнениям на рис. 3.2 построены кривые и в функции y.
4. Определим коэффициенты бегущей и стоячей волн:
6. В конце воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =600 Ом при сопротивлении нагрузки = =300 Ом напряжение равно 120 В.
Найти, на каких расстояниях от конца линии напряжение минимальное и максимальное. Определить величины этих напряжений , B, и , B.
Построить график распределения действующего значения напряжения вдоль линии, откладывая расстояния в относительных единицах , где х - расстояние от конца линии, - длина волны.
Решение
1. Коэффициент отражения
2. Определим и :
значит, при находится в противофазе с и так как = 120 В, то = 180 В, а = 60 В.
3. Определим и :
= 180 + 60 = 240 В; = 120 В.
4. Распределение действующих значений напряжений вдоль линии легко найдем по формуле (28):
Определим положения максимумов и минимумов, для чего возьмем производную от подкоренного выражения.
Имеем [-1+ = 0. Исключив случай =1, соответствующий согласованной нагрузке, определим, что экстремумы функции будут при =0, , , т.е. при , где х отсчитывается от конца линии.
Точки минимумов х =0, /2 и т.д.
Точки максимумов х = и т.д.
7. В конце воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =600 Ом ток = 0,1 А при сопротивлении нагрузки = 1200 Ом.
Найти, на каких расстояниях от конца линии напряжение максимальное и минимальное. Построить график распределения напряжения вдоль линии в долях длины волны.
Решение
1. Напряжение на конце линии
В.
2. Коэффициент отражения
3. Прямая и обратная волны напряжения
В;
В.
4. В конце линии прямая и обратная волны находятся в фазе и, следовательно, на нагрузке максимум напряжения
В.
Минимум напряжения будет в той точке, где разность фаз прямой и обратной волн составит , т.е.
Координаты максимумов: х = 0, / 2 и т.д.
Координаты минимумов: х = / 4, З / 4 и т.д.
8. Линия без потерь с волновым сопротивлением =400 Ом нагружена в конце на комплексное сопротивление = (640+j480) Ом. Напряжение в конце линии В, длина волны 4 м.
Определить максимальные В, , А, и минимальные , В, A, действующие значения напряжения и тока в линии; расстояние , м, от нагрузки до ближайшего минимума напряжения; построить векторные диаграммы напряжений и токов для точек x = 0 и x = 1,3 м.
Решение
1. Определим коэффициент отражения :
2. Определим максимумы и минимумы напряжения и тока:
В;
так как в точке максимума и находятся в фазе, то
В;
В;
A;
A.
3. Определим расстояние от нагрузки до ближайшего минимума напряжения, исходя из условия противофазности прямой и обратной волн:
отсюда м, где , так как
4. Вычислим напряжения прямой и обратной волны в конце линии и для точки х = 1,3 м в линии:
В;
В.
5. Вычислим те же величины для точки х = 1,3 м:
рад
В;
В.
9. У воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =400 Ом было исследовано распределение напряжения вдоль линии. Оказалось, что первый минимум напряжения 12 В находится на расстоянии = 0,4 м от конца линии, а первый максимум напряжения 16 В – на расстоянии = 0,9 м.
Определить сопротивление нагрузки , Ом.
Решение
1. Определим длину волны из соотношения , отсюда м.
2. Определим угол между прямой и обратной волнами напряжения в конце линии. В точке минимума напряжения прямой и обратной волн находятся в противофазе. Исходя из этого, определяем угол между напряжением прямой и обратной волн в конце линии , где . Отсюда .
3. Приняв фазу прямой волны в конце линии равной нулю, определим напряжение в нагрузке:
,
где
Отсюда В; В; В.
4. Вычислим ток в нагрузке:
А.
5. По известным значениям напряжения и тока в нагрузке определяем сопротивление нагрузки:
Ом.
6. Сопротивление нагрузки может быть определено и через коэффициент отражения:
10. Воздушная линия без потерь имеет волновое сопротивление = 400 Ом. Измерения показали, что первый от конца минимум напряжения находится на расстоянии 2 м, а второй - на расстоянии 7 м и отношение = 0,5.
Определить сопротивление нагрузки , Ом.
Решение
1. Известно, что расстояние между двумя соседними минимумами напряжения равно полуволне, то есть м. Отсюда длина волны = 10м.
2. Определяем коэффициент фазы
3. Входное сопротивление линии относительно точки, где есть ближайший от конца минимум напряжения, является чисто активными равным
Следовательно, где
Подставляя численные значения, получим следующее уравнение:
Решив это уравнение относительно , получим
Ом.
11. Линия без потерь имеет длину l = 200 м, волновое сопротивление = 600 Ом и коэффициент фазы = 0,1047 рад/м. Длина волны в линии = 60 м. В конце линии включена индуктивность L = = 0,001 мГн.
Доказать, что в линии будут стоячие волны тока и напряжения.
Найти:
а) на каком расстоянии от конца линии будут ближайшие пучности напряжения , м, и тока , м;
б) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в конце линии;
в) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в начале линии.
Решение
1. Определим сопротивление нагрузки:
Ом.
Выразим ток нагрузки через U2:
2. Докажем, что в линии имеют место стоячие волны, т.е. мгновенные значения напряжения и тока имеют следующий вид:
Из уравнения линии без потерь в комплексной форме, подставив , получим
где рад.
Переходя к мгновенным значениям и принимая, что напряжение имеет начальную фазу, равную нулю (т.е. ),
получим
3. Определим расстояние от конца линии до ближайшей пучности напряжения из уравнения , т.е. , следовательно,
м.
Определим расстояние от конца линии до ближайшей пучности тока:
м.
4. Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде напряжения в конце линии
м.
Для тока такое отношение имеет вид
м.
Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде напряжения в начале линии
.
Для тока такое соотношение имеет вид
.
12. Линия без потерь нагружена на конденсатор, сопротивление которого на данной частоте равно 35 Ом. Длина линии l = 5,5 м, коэффициент фазы , волновое сопротивление = 70 Ом. При напряжении в начале линии = 10 В определить мгновенные значения напряжения и тока .
Определить напряжение в конце линии , В, построить графики U(x) и I(х), отсчитывая х от конца линии.
Решение
1. Используем следующие уравнения:
С учетом соотношений и можно записать:
Напряжение находим при x=l:
В; В.
2. Подставим известные численные значения в уравнения линии без потерь:
Выражения для мгновенных значений u и i имеют вид
3. Действующие значения напряжения и тока
Кривые U(x) и I(x) можно построить непосредственно по этим соотношениям. Однако целесообразно рассчитать положение узлов и пучностей.
4. Координату первого узла напряжения находим из условия
,
отсюда м.
Следующий узел напряжения находится на расстоянии /2 от первого узла. Так как = = 2,5м, то = 2,87 м. Пучности напряжения отстоят от его узлов на расстоянии = 1,25 м. Отсюда получаем координаты пучностей напряжений:
м; м.
Напряжение в пучности ( х = 1,61 м ) = 61 В.
Ток в пучности ( х = 0,37 м ) = 0,872 А.
Построим графики действующих значений U(x) и I(х)
13. Линия без потерь длиной l = 5 м, имеющая волновое сопротивление =470 Ом и коэффициент фазы = 2,10 рад/м, находится в режиме холостого хода.
1. Подсчитать действующие значения напряжения , В, в конце и тока , мА, в начале линии, если к линии подключено напряжение В, Гц).
2. Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии.
3. Написать уравнения мгновенных значений напряжения u и тока i в начале линии.
4. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль линии для двух моментов времени: t=0 и t=T/8.
5. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны .
Решение
Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:
рад= рад;
1. Примем В. Комплексные значения напряжений и токов можно записать следующим образом:
Определим действующее значение напряжения в конце линии:
В.
Затем определим действующее значение тока в начале линии:
мА.
2. Действующие значения напряжений и токов соответственно равны
3. Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода
4. Для момента эти уравнения примут вид
мА;
а для момента
В; мА
5. Коэффициент отражения со стороны нагрузки определим по формуле
Коэффициент бегущей волны
14.В конце линии длиной l = 5,5 м, имеющей волновое сопротивление = 70 Ом, коэффициент фазы =72 °/м, длину волны =5м, произошло короткое замыкание. Напряжение на входе линии = 10 В. Найти токи в начале , А, и в конце , А, линии, а также распределение действующих значений U и I в линии и ее входное сопротивление , Ом.
Решение
1. При коротком замыкании = 0. Уравнения линии без потерь упрощаются:
При , тогда
А;
А.
2. Уравнения КЗ линии примут вид
Отсюда действующие значения напряжения и тока равны
Кривые U(x) и I(х) показаны на рис. 3.10.
3. Входное сопротивление равно
Ом,
или
Ом.
15. Для измерения емкости конденсатора при высокой частоте найдено положение узлов напряжения вдоль линии без потерь, в конце которой включен конденсатор, а в начале – генератор заданной частоты.
Определить емкость конденсатора C, пФ, если расстояние от конца воздушной линии с волновым сопротивлением Zc = 550 Ом до ближайшего узла напряжения x1 = 10 см, частота тока в линии f = 150 мГц.
Решение
1. Входное сопротивление участка линии относительно сечения x1 Zвх(x1), в котором напряжение U = 0 (узел напряжения), также равно нулю.
Следовательно,
,
где ; , откуда C=5,9 пФ.