1) Сумма ряда Определение суммы ряда.
Выражение вида
называем рядом;
-- n-ый член ряда (1). Сумма
называется n-ой частичной суммой ряда
(1).
Определение 1.
Суммой ряда (1) называется предел
частичных сумм, если
.
Итак, сумма ряда (1) есть число
т.е. такое число, что
для любого
найдется натуральное
начиная с которого, т.е. для любого
выполняется неравенство
Если существует предел (2), то ряд (1) называется сходящимся. В противном случае, ряд (1) называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости.
Теорема. Если ряд (1) сходится то n-ый член стремится к 0 .
Доказательство.
.
□
Пример. Гармоническим рядом называется ряд
Для этого ряда
но этот ряд расходится, как показывает
далее интегральный признак Коши.
Геометрическая прогрессия
- это ряд вида
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Теорема 2. Пусть
.
Тогда геометрическая прогрессия сходится
тогда и только тогда, когда |q|<1. В этом
случае сумма геометрической прогрессии
равна
.
Утверждение следует
из равенства
□
Арифметические операции с рядами.
Определим сумму двух
рядов
и
как ряд с n-ым слагаемым
.
Произведение ряда (1) на число
- это ряд
.
Теорема. Если
ряды
и
сходятся соответственно к s и t, то сумма
этих рядов сходится к числу s+t, а
произведение ряда
на число сходится
к
.
Доказательство вытекает из соответствующих свойств предела
2)
Поле комплексных чисел
Алгебраической
причиной введения комплексных чисел
является отсутствие действительного
корня уравнения
Комплексное число
имеет вид
,
где
-- вещественные числа, называемые
действительной и мнимой частью
комплексного числа z
(записываем так:
),
а
-- новое число, называемое комплексной
единицей и обладающее свойством
.
Два комплексных числа равны в том и
только том случае, когда совпадают их
действительные и мнимые части. Операции
сложения и умножения над комплексными
числами определяются следующим образом
Заметим, что в этих
равенствах знаки сложения и умножения
использованы в двух смыслах: как сложение
(умножение) действительных чисел
и
и как сложение (умножение) двух
комплексных числе
и
согласно определению (1).
Если
то
либо
,
либо
,
и поэтому
.
В этом случае комплексное число
имеет обратное
Действительно,
Тем самым совокупность
всех комплексных чисел
превращается в поле. Поле действительных
чисел изоморфно вкладывается в поле
посредством отображения
,
как это уже было отмечено в равенствах
(2).
К
омплексные
числа изображаются точками на плоскости
Oxy или векторами с начальной точкой в
начале координат (см. рис. 1). Горизонтальная
ось Ox называется действительной осью,
а вертикальная ось Oy называется мнимой
осью и обозначается как
ибо по ней откладываются чисто мнимые
числа
и.т.д.. При этом сложение двух комплексных
чисел можно рассматривать как сложение
двух векторов по правилу параллелограмма
Сопряжение комплексных чисел
Комплексное число
называется комплексно сопряженным
к
,
а отображение
называется сопряжением. Сопряжение
является биективным отображением
комплексной плоскости на себя. С
геометрической точки зрения операция
сопряжение есть не что иное, как отражение
относительно действительной оси.
Равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
z – действительное число.
Кроме этого, сопряжение обладает
свойством гомоморфности по отношению
к сложению и умножению:
Эти свойства проверяются
непосредственно. Как и всякая симметрия,
сопряжение обладает свойством
инволютивности:
для любого
.
Отметим также свойство
Билет 4