1) Абсолютная сходимость.
Дан ряд с произвольными слагаемыми. Рассмотрим ряд
составленный из абсолютных величин членов исходного ряда.
Теорема. Если ряд (1) сходится, то и исходный ряд сходится.
Доказательство. Так как и ряд (1) сходится, то по тереме сравнения получаем сходимость ряда . Арифметические операции с рядами показывают, что сходится ряд равный разности сходящихся рядов и . □
Определение. Ряд такой, что ряд (1), составленный из абсолютных величин сходится, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1) расходится, а сам ряд сходится, то ряд называют условно сходящимся.
2)
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Если -- действительное число, то приходим к «школьному» модулю, ибо . Если , то угол, который образует вектор с действительной осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Пусть – модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда
(1)
Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Комплексная экспонента
Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:
Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются
(2)
В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:
Билет 5
1) Ряды Тейлора и Маклорена
Вспомним формулу Тейлора:
Пусть здесь -- бесконечно дифференцируемая функция. Тогда степенной ряд
называется рядом Тейлора функции в окрестности точки . В частном случае, когда , этот ряд называют рядом Маклорена.
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
а) Разложение экспоненты
б) Разложение гармоник
в) Биномиальное разложение
Здесь -- параметр. Исследуем сходимость ряда (5):
Итак, разложение (5) имеет место для всех , ибо как функция так и сумма ряда в (5) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1+x)y'=my с начальными условиями y(0)=1.
г) Разложение логарифмической функции.
Интегрируя (8) на отрезке при условии , получим:
Это равенство верно при любом
Билет7
1) Интегральный признак сходимости Коши
Теорема (интегральный признак сходимости Коши). Пусть - монотонно убывающая, непрерывная и неотрицательная функция при . Положим для натуральных n. Тогда ряд и интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. При этом имеет место следующая оценка остатка ряда :
Доказательство по сути вытекает из рисунка. Имеем (*). Если ряд сходится, то и ряд сходится по теорем е сравнения. Отсюда следует, что интеграл имеет предел при . Из этого вытекает (с учетом монотонности функции ), что существует предел . Это доказывает сходимость интеграла . Наоборот, если последний интеграл сходится и равен , то для любого . Отсюда и из неравенств (*) следует ограниченность частичных сумм ряда. По лемме 1 из параграфа «теорема сравнения» вытекает сходимость ряда . Оценка остатка ряда следует из неравенства (*):
Следствие. Ряд сходится тогда и только тогда, когда . В частности, гармонический ряд расходится.
Доказательство. Применим теорему, беря в качестве функции . Если , то
в силу того, что . Если , то
неограниченно возрастающая функция. В случае из неравенства и уже доказанной расходимости гармонического ряда вытекает расходимость ряда (применяем теорему сравнения).
2) Функция комплексного переменного называется аналитической в точке, если она имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Аналитичность на замкнутой области D означает существование производной на некоторой открытой области G, содержащей D.
Имеют место обычные правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного и производная сложной функции. Производная постоянной функции равна 0. Если w=f(z) и z=g(w) -- две взаимно-обратные функции, то g'(w)= 1 / f'(z)
Предложение. Из аналитичности функции следует ее непрерывность.
Условия Коши-Римана. Если функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитична в точке z0, то выполнены условия
Наоборот, если в открытой области существут и непрерывны все четыре частные производные и при этом выполнено в этой области условие (C-R), то функция аналитична.