9. Смешанное произведение, его геометрический смысл, свойства. Смешанное произведение в координатах.

Смешанным произведением 3 векторов a, b, cназывается число, равное скалярному произведению вектора aна векторное произведение векторов bи c. a[b,c]

Смешанное произведение равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах.

V, еслиa,b,cправая

abc= -V, еслиa,b,cлевая

0, еслиa,b,cкопланарные

Свойства векторного произведения:

1. a, b, cкомпланарны abc=0

2. a,b,cправаяabc>0

a,b,cлеваяabc<0

3. a[b,c]=[a,b]c

Смешанное произведение в координатах: |x₁ y₁ z₁|

abc =|x₂y₂z₂|

|x₃y₃z₃|

10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между 2 точками: Даны 2 точки M₁(x₁, y₁,z₁) и M₂(x₂, y₂,z₂), тогда расстояние между ними

Пусть в пространстве задан отрезок [M₁;M₂] и точка М, лежащая между точками M₁,M₂. Число λ= называется отношение, в котором точка М делит отрезок [M₁;M₂].

Если точка М(x, y, z) делит отрезок [M₁;M₂] в отношении λ, то координаты точки М определяются формулами: x= , y= , z=

11. Уравнение прямой на плоскости.

1. Общее уравнение: Ax+By+C=0

2. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀, y₀) перпендикулярно нормальному вектору n(A, B): A(x-x₀)+B(y-y_o)=0

3. Каноническое уравнение прямой:

4. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

5. Параметрическое уравнение прямой:

x=x₀+lt

y=y₀+mt

6. Уравнение прямой в отрезках:

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентомk: y-y₀=k(x-x₀)

8. Нормальное уравнение прямой: xcosα+ycosβ-p=0

12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

1. Прямые заданы уравнениями:

L₁:A₁x+B₁y+C₁=0

L₂:A₂x+B₂y+C₂=0

1. Условие параллельности прямых:λ=

2. Условие того, что прямые совпадают:

3. Угол между пересекающимися прямыми: cos(L_1,L₂)=

4. Условие перпендикулярности прямых: A₁A₂+B₁B₂=0

2. Прямые заданы уравнениями:

L₁: y=k₁x+B₁

L₂: y=k₂x+B₂

1. Условие параллельности прямых:k₁=k₂

2. Условие того, что прямые совпадают:k₁=k_2, b₁=b₂

3. Угол между пересекающимися прямыми: tgα=

4. Условие перпендикулярности прямых: k₁*k₂=-1

13. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

Расстояние от точки до прямой на плоскости: Если прямая задана уравнением xcosα+ycosβ-p=0, то расстояние от точки до прямой: |x₀cosα+y₀cosβ-p|

Если прямая задана уравнением Ax+By+C=0, то расстояние от точки до прямой:

Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости:

Расстояние от точки до плоскости: Если плоскость задана уравнением xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0, то расстояние от точки до плоскости: |x₀cosα+y₀cosβ+z₀cosγ-p|

Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то расстояние от точки до плоскости:

Расстояние между параллельными плоскостями:

14. Уравнения плоскости. Взаимное расположение пары плоскостей.

1. Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0

2. Уравнение плоскости проходящей через точку:A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

3. Уравнение плоскости в отрезках:

4. Нормальное уравнение плоскости: xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0

5. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:|x-x₀y-y₀z-z₀|

|x₁-x₀y₁-y₀z₁-z₀| =0

|x₂-x₀y₂-y₀z₂-z₀|

1. Условие параллельности плоскостей:

2. Условие того, что плоскости совпадают:

3. Угол между плоскостями: cos(P₁,P₂)=

4. Условие перпендикулярности плоскостей: A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

15. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Общее уравнение прямой в пространстве:

{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

L =

{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

2. Параметрическое уравнение прямой:

{x=x₀+lt

{y=y₀+mt

{z=z₀+pt

3. Каноническое уравнение прямой:

4. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

1. Принадлежность 2 прямых одной плоскости:

|x₂-x­₁y₂-y₁z₂-z₁|

|l₁ m₁ p₁ |=0

|l₂ m₂ p₂ |

2. Условие параллельности 2 прямых:

3. L₁пересекает L₂

cos(L₁,L₂)=

4. L₁перпендикулярно L₂

5. L₁и L₂скрещивающиеся

|x₂-x­₁y₂-y₁z₂-z₁|

|l₁ m₁ p₁ | 0

|l₂ m₂ p₂ |

16. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.

Расстояние между двумя прямыми:

1. Если L₁и L₂лежат в одной плоскости:

а) L₁ L₂ =0

б) L1//L2

2. Если L₁и L₂скрещиваются:

17. Взаимное расположение прямой и плоскости. Пучок прямых и пучок плоскостей

Al+Bm+Cp=0 –условие параллельности прямой и плоскости

{Al+Bm+Cp=0

Условие принадлежности прямой плоскости:

{Ax₀+By₀+Cz₀+D=0

Прямая пересекает плоскость: t=- =t₀

Пучокпрямых: A₁x+B₁y+C₁+λ(A₂x+B₂y+C₂₎=0

Пучокплоскостей: A₁x+B₁y+C₁z+D₁+λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂₎=0

18. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от 2 заданных точек этой плоскости постоянна. Эти точки называются фокусами.

Расстояние между фокусами: 2с

с=

Уравнение эллипса:

19. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от 2 заданных точек постоянна. Эти точки называются фокусами гиперболы.

Расстояние между фокусами:2с

с=

Уравнение гиперболы:

20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от заданной точки и прямой равны между собой.

Эта точка называется фокусом гиперболы, а прямая директрисой гиперболы.

Расстояние от фокуса до начала координат=р

Уравнение параболы:

Уравнение директрисы: x=

21. Понятие об упрощении общего уравнения кривой 2-го порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

AC-B²инвариант кривой второго порядка.

В зависимости от значения AC-B²кривые делятся на 3 типа:

1. Эллиптический тип AC-B²>0

– Эллипс

-Мнимый эллипс

– Точка

2. Гиперболический тип AC-B²<0

– Гипербола

- Сопряженная гипербола

- Пара пересекающихся прямых

3. Параболический тип AC-B²=0

y²=2px – Парабола

y²-a²=0 –Пара параллельных прямых

y²+a²=0 – Пара мнимых параллельных прямых

y²=0 – Пара совпадающих прямых